4.3 Brachistochrone

4.3.1Problemstellung¶

Eine Kugel soll sich aus “eigener” Kraft (Schwerkraft) entlang einer Bahn von einem höher gelegenen Startpunkt zu einem niedriger gelegenen Zielpunkt bewegen. Wie ist die Bahn zu Formen, damit die Kugel in möglichst kurzer Zeit den Zielpunkt erreicht? Diese optimale Bahn heißt Brachistochrone.

4.3.2Modell¶

Sind $(x_1,y_1)$ und $(x_2,y_2)$ Start- und Zielpunkt, so kann die Bahn als Funktion $h:[x_1,x_2]\to\bbR$ beschrieben werden, insbesondere gilt also $h(x_1)=y_1$ und $h(x_2)=y_2$. Über Betrachtungen zur Energieerhaltung kann man zeigen, dass die benötigte Zeit $T(h)$ für das Durchlaufen der Bahn $h$ mittels

berechnet werden kann. Dabei ist $g$ die wirkende Fallbeschleunigung. Die optimale Bahn ist somit als Lösung des Minimierungsproblems

gegeben, wobei $H$ die Menge aller stetig differenzierbaren Funktionen mit $h(x_1)=y_1$ und $h(x_2)=y_2$ sein soll.

4.3.3Untersuchung des Modells¶

An diesem recht einfachen Problem und seiner Modellierung treten schon verschiedene allgemein relevante Aspekte zutage:

• Obwohl das Anwendungsproblem im dreidimensionalen Raum formuliert ist, arbeitet das Modell im zweidimensionalen Raum. Dass diese Vereinfachung zulässig ist, also keinen (wie hier) oder nur einen vernachlässigbar kleinen Fehler verursacht, muss man bei der Modellierung prüfen!

• Die Formel für $T(h)$ nimmt keine Rücksicht auf die Tatsache, dass die Kugel auf der Bahn rollen und nicht gleiten wird. Man kann sich auch hier überlegen, dass diese Vereinfachung keinen Einfluss auf die Lösung hat.

• Die Vernachlässigung der Reibung zwischen Kugel und Bahn sowie zwischen Kugel und Luft wird hingegen einen Fehler verursachen. Dieser sollte (!) vernachlässigbar sein, wenn die Kugel schwer und sowohl Kugel als auch Bahn sehr glatt sind. Diese Aussage ist keine exakte Fehlerbetrachtung, sondern eine bei der Modellierung leider manchmal nötige Abschätzung nach “Augenmaß”.

• Wir haben als Wertebereich für $h$ alle reellen Zahlen zugelassen, obwohl man in Versuchung kommen könnte, nur das Intervall $[y_2,y_1]$ zuzulassen. Es wird sich allerdings herausstellen, dass für die optimale Bahn auch $h(x)<y_2$ für manche $x$ gelten kann. Also: Vereinfachungen kritisch auf Zulässigkeit prüfen.

• Im Integrand wird durch $h(x)$ geteilt, der Integrand hat also eine Polstelle. Da das Integral minimiert wird, wird die Polstelle der Lösung aber so beschaffen sein, dass ein endlicher Wert für das Integral entsteht. Modelle auf mathematische Korrektheit prüfen!

• Das Modell wird als Optimierungsproblem über einer Menge von Funktionen formuliert. Diese Art mathematischer Probleme taucht in den Grundveranstaltungen zur Mathematik üblicherweise nicht auf. Alle praktisch relevanten und interessanten Probleme erfordern zusätzliche Mathekenntnisse!

Das gefundene Minimierungsproblem als Modell für die Berechnung der Brachistochrone lässt sich sogar analytisch lösen, muss also nicht zwingend numerisch gelöst werden. Das Problem gehört aber zu einer allgemeineren Klasse von Problemen, die sich nicht immer analytisch lösen lassen:

mit einer das konkrete Problem definierenden Funktion $F:\bbR^3\to\bbR$, wobei $h(x_1)$ und $h(x_2)$ gegeben sind.

4.3.4Hinweise zum numerischen Lösen¶

Werden aus Zeitgründen das Brachistrochronen-Problem nicht numerisch lösen, sondern geben nur einige Hinweise zum Vorgehen.

• Die Menge aller stetig differenzierbaren Funktionen ist nicht mit dem Computer darstellbar. Somit müssen wir uns auf eine hinreichend repräsentative, aber endlichdimensionale Menge von Funktionen als Suchraum bei der Optimierung beschränken. Kandidaten sind Polynome oder stückweise Polynome, jedoch auch eine ganze Reihe anderer Ansätze.

• Man kann zeigen, dass die optimale Bahn $h'(x_1)=-\infty$ erfüllt. Mit Polynomen wird man diese Bedingung nie erfüllen können. Verwendet man stückweise Polynome, so sollten die Teilintervalle in der Nähe von $x_1$ sehr klein sein, damit der starke Abfall von $h$ dort gut angenähert werden kann.

• Obwohl die gesuchte Funktion differenzierbar ist, können auch nicht differenzierbare Ansätze wie stückweise lineare Funktionen zum Ziel führen (keep it simple). Dabei ist die Frage zu klären, was eigentlich das Ziel ist. Geht es nur um die Visualisierung der optimalen Bahn? Dann reicht eine stückweise lineare Näherungslösung aus. Oder soll die optimale Bahn in Folgeprozessen verwendet werden, die auf Ableitungen beruhen? Dann sollte auch die Näherungslösung differenzierbar sein.

• Das entstehende Optimierungsproblem kann meist mit Standardverfahren gelöst werden. Welcher Algorithus geeignet ist, hängt von der konkreten Form des Optimierungsproblems ab, also vor allem von der gewählten Diskretisierung.