Wiederholung Differentialrechnung - Ingenieurmathematik (i939)

4.1.1Partielle Ableitungen¶

Sei $f:\bbR^n\to\bbR$ eine Funktion von $n$ Veränderlichen $x:=(x_1,\ldots,x_n)$ . Bezeichnen die zugehörigen ersten partiellen Ableitungen mit $f_{x_1},\ldots,f_{x_n}$ oder (seltener) mit

\frac{\partial}{\partial x_1}f,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_n}f.

(1)

Der Vektor

\nabla f(x):={\begin{bmatrix}f_{x_1}(x)\\\vdots\\f_{x_n}(x)\end{bmatrix}}

(2)

heißt Gradient von $f$ .

Ist $r\in\bbR^n\setminus{0}$ ein Vektor mit $\|r\|=1$ , so ist

\frac{\partial}{\partial r}f(x):=r_1\,x_1+\cdots r_n\,x_n

(3)

die Richtungsableitung von $f$ in Richtung $r$ an der Stelle $x$ .

Die Matrix

H_f(x):={\begin{bmatrix}f_{x_1x_1}&\cdots&f_{x_1x_n}\\\vdots&&\vdots\\f_{x_nx_1}&\cdots&f_{x_nx_n}\end{bmatrix}}\in\bbR^{n\times n}

(4)

der zweiten partiellen Ableitungen heißt Hesse-Matrix. Sie ist in allen praktisch relevanten Fällen symmetrisch.

Ist $f:\bbR^n\to\bbR^m$ eine vektorwertige Funktion mit Komponentenfunktionen $f_1,\ldots,f_m$ , also

f={\begin{bmatrix}f_1\\\vdots\\f_m\end{bmatrix}},

(5)

so bezeichnen wir mit

J_f(x):={\begin{bmatrix}(f_1)_{x_1}&\cdots&(f_1)_{x_n}\\\vdots&&\vdots\\(f_m)_{x_1}&\cdots&(f_m)_{x_n}\end{bmatrix}}\in\bbR^{m\times n}

(6)

die Jacobi-Matrix zu $f$ an der Stelle $x$ . Die Zeilen der Jacobi-Matrix sind also gerade die Gradienten der Komponentengfunktionen.

4.1.2Differentialoperatoren¶

Gewisse Kombinationen von partiellen Ableitungen treten bei der mathematischen Modellierung von praktischen Fragestellungen besonders häufig auf und bekommen deshalb eine eigene Kurzschreibweise.

Sei $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ ein Vektorfeld. Definieren das Skalarfeld

(\mathrm{div}\,f)(x,y,z):=\frac{\partial}{\partial x}f_1(x,y,z)+\frac{\partial}{\partial y}f_2(x,y,z)+\frac{\partial}{\partial z}f_3(x,y,z)

(7)

(Divergenz von $f$ ) und das Vektorfeld

(\mathrm{rot}\,f)(x,y,z):={\begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial y}f_3(x,y,z)-\frac{\partial}{\partial z}f_2(x,y,z)\\ \frac{\partial}{\partial z}f_1(x,y,z)-\frac{\partial}{\partial x}f_3(x,y,z)\\ \frac{\partial}{\partial x}f_2(x,y,z)-\frac{\partial}{\partial y}f_1(x,y,z) \end{bmatrix}} ={\begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x}\\ \frac{\partial}{\partial y}\\ \frac{\partial}{\partial z} \end{bmatrix}}\times{\begin{bmatrix} f_1(x,y,z)\\ f_2(x,y,z)\\ f_3(x,y,z) \end{bmatrix}}

(8)

(Rotation von $f$ ).

Die Divergenz kann als Quellendichte interpretiert werden. In einer Strömung gibt sie beispielsweise an, ob an einem Punkt Material zum durchströmenden Material hinzugefügt wird (positive Divergenz) oder ob Material entnommen wird (negative Divergenz). Siehe Divergenz eines Vektorfeldes, koordinatenfreie Darstellung für eine präzise Formulierung dieser Interpretation.

Die Rotation gibt Drehachse und Drehgeschwindigkeit eines in der Strömung mitschwimmenden Objekts an. Vektorfelder, deren Rotation überall Null ist, heißen wirbelfrei.

Für ein Skalarfeld $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$ setzen wir noch

(\Delta\,f)(x,y,z):=\frac{\partial^2}{\partial^2 x}f(x,y,z)+\frac{\partial^2}{\partial^2 y}f(x,y,z)+\frac{\partial^2}{\partial^2 z}f(x,y,z)

(9)

(Laplace-Operator angewendet auf $f$ ). Funktionen, die $\Delta f(x,y,z)=0$ für alle relevanten $x,y,z$ erfüllen, heißen harmonisch. Solche Funktionen treten in Physik und Technik in vielen verschiedenen Kontexten auf (Elektrostatik, Wärmeleitung, Elastizitätslehre,...).

Offensichtlich gilt

\Delta f(x,y,z)=\mathrm{div}\,\nabla f(x,y,z)

(10)

4.1.3Kurven¶

Eine Kurve $K\subseteq\bbR^3$ im Raum ist eine Teilmenge des Raumes, die in der Form

K=\bigl\{\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr):\;t\in[a,b]\bigr\}

(11)

mit dem Parameterintervall $[a,b]$ und den Koordinatenfunktionen

x:[a,b]\to\bbR,\quad y:[a,b]\to\bbR,\quad z:[a,b]\to\bbR

(12)

geschrieben werden kann. Meistens entspricht das Parameterintervall einem Zeitintervall, sodass die Kurve jedem Zeitpunkt eine Position im Raum zuordnet.

Beispiel (Schraubenlinie)

Die durch

x(t)=\cos(2\,\pi\,t),\qquad y(t)=\sin(2\,\pi\,t),\qquad z(t)=t,\qquad t\in[0,3]

(13)

gegebene Kurve ist eine Schraubenlinie entlang der $z$ -Achse mit drei Windungen.

import numpy as np
import plotly.graph_objects as go

t = np.linspace(0, 3, 200)
x = np.cos(2 * np.pi * t)
y = np.sin(2 * np.pi * t)
z = t

fig = go.Figure()
fig.layout.margin = dict(l=0, r=0, b=0, t=0)  # breiten Rand vermeiden
fig.add_trace(
    go.Scatter3d(x=x, y=y, z=z, mode='lines', line_width=5)
)
fig.show()

Eine Kurve $K$ heißt differenzierbar, wenn die Koordinatenfunktionen differenzierbar sind. Der Vektor

{\begin{bmatrix}x'(t)\\y'(t)\\z'(t)\end{bmatrix}}

(14)

ist gerade der Tangentialvektor an die Kurve $K$ im Punkt $(x(t),y(t),z(t))$ . Beschreibt die Kurve die Position eines Teilchens im Laufe der Zeit, so entspricht der Tangentialvektor dem Geschwindigkeitsvektor (Richtung und Betrag). Der Vektor der zweiten Ableitungen kann dann als Beschleunigungsvektor (Richtung und Betrag) interpretiert werden.

Beispiel (Newton'sches Gesetz)

Bewegt sich ein Massepunkt der Masse $m$ entlang einer durch die Koordinatenfunktionen $x,y,z$ gegebenen Kurve durch ein zeitabhängiges Kraftfeld $F:\bbR^4\to\bbR^3$ so gilt zu jedem Zeitpunkt $t$ das Newton’sche Gesetz

F\bigl(x(t),y(t),z(t),t)=m\,{\begin{bmatrix}x''(t)\\y''(t)\\z''(t)\end{bmatrix}}

(15)

(“Kraft = Masse $\cdot$ Beschleunigung”).

Insbesondere kann man bei gegebenem $F$ , gegebener Anfangsposition $(x(0),y(0),z(0))$ und gegebener Anfangsgeschwindigkeit $(x'(0),y'(0),z'(0))$ aus diesem Zusammenhang die Koordinatenfunktionen und damit den weiteren Bewegungsverlauf berechnen (vgl. Kapitel zu gewöhnlichen Differentialgleichungen).

4.1.4Flächen¶

Eine Fläche $S\subseteq\bbR^3$ im Raum ist eine Teilmenge des Raumes, die in der Form

S=\bigl\{\bigl(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\bigr):\;u\in[a,b],\,v\in[v_1(u),v_2(u)]\bigr\}

(16)

mit den Parametern $u,v$ und den Koordinatenfunktionen $x,y,z$ geschrieben werden kann. Dabei können die Grenzen des Parameters $v$ von $u$ abhängen (IDV 405).

Sind die Koordinatenfunktionen differenzierbar, so kann man in jedem $(x_0,y_0,z_0)=(x(u_0,v_0),y(u_0,v_0),y(u_0,v_0))$ der Fläche eine Ebene mit gleicher Neigung wie die Fläche anlegen, die sogenannte Tangentialebene. Sie besteht aus allen Punkten $(\xi,\eta,\zeta)$ des Raumes, die folgende Gleichung erfüllen:

0=\left({\begin{bmatrix}x_u(u_0,v_0)\\y_u(u_0,v_0)\\z_u(u_0,v_0)\end{bmatrix}}\times{\begin{bmatrix}x_v(u_0,v_0)\\y_v(u_0,v_0)\\z_v(u_0,v_0)\end{bmatrix}}\right)^\rmT\,{\begin{bmatrix}\xi-x_0\\\eta-y_0\\\zeta-z_0\end{bmatrix}}.

(17)

Der Vektor

{\begin{bmatrix}x_u(u_0,v_0)\\y_u(u_0,v_0)\\z_u(u_0,v_0)\end{bmatrix}}\times{\begin{bmatrix}x_v(u_0,v_0)\\y_v(u_0,v_0)\\z_v(u_0,v_0)\end{bmatrix}}

(18)

steht senkrecht auf der Tangentialebene und damit auch senkrecht auf der Fläche. Er wird Normalenvektor genannt. Jedes Vielfache dieses Vektors ist ebenfalls ein Normalenvektor.

Um eine gewisse Eindeutigkeit des Normalenvektors zu erreichen, verwendet man üblicherweise Normalenvektoren der Länge 1. Dann gibt es nur noch zwei Möglichkeiten diesen zu wählen. Beide unterscheiden sich nur im Vorzeichen. Welchen der beiden man für gewisse Zwecke (siehe später) wählt, ist egal. Jedoch muss man darauf achten, dass man in jedem Punkt der Fläche die gleiche Richtung für den Normalenvektor wählt, also alle Normalenvektoren auf der gleichen Seite der Fläche liegen.

Allerdings gibt es Flächen, bei denen man die Normalenvektoren nicht in einheitlicher Richtung wählen kann, z.B. das Möbiusband. Solche Flächen heißen nicht orientierbar. Wir betrachten stets nur orientierbare Flächen. Sind die Koordinatenfunktionen stetig (!) differenzierbar und gilt

{\begin{bmatrix}x_u(u,v)\\y_u(u,v)\\z_u(u,v)\end{bmatrix}}\times{\begin{bmatrix}x_v(u,v)\\y_v(u,v)\\z_v(u,v)\end{bmatrix}}\neq{\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}}\qquad\text{für alle }u, v,

(19)

so ist die Fläche orientierbar.

Beispiel (Funktionsgraph)

Für eine stetig differenzierbare Funktion $f:\bbR^2\to\bbR$ bildet der Funktionsgraph eine Fläche. Diese kann durch

x(u,v):=u,\quad y(u,v):=v,\quad z(u,v):=f(u,v),\quad u\in\bbR,\quad v\in\bbR

(20)

parametrisiert werden.

Als Normalenvektor erhält man

{\begin{bmatrix}x_u(u,v)\\y_u(u,v)\\z_u(u,v)\end{bmatrix}}\times{\begin{bmatrix}x_v(u,v)\\y_v(u,v)\\z_v(u,v)\end{bmatrix}} ={\begin{bmatrix}1\\0\\f_x(u,v)\end{bmatrix}}\times{\begin{bmatrix}0\\1\\f_y(u,v)\end{bmatrix}} ={\begin{bmatrix}-f_x(u,v)\\-f_y(u,v)\\1\end{bmatrix}}.

(21)

Die Tangentialebene in einem Punkt $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ ist entsprechend durch

0={\begin{bmatrix}-f_x(x_0,y_0)\\-f_y(x_0,y_0)\\1\end{bmatrix}}^\rmT\,{\begin{bmatrix}\xi-x_0\\\eta-y_0\\\zeta-f(x_0,y_0)\end{bmatrix}}

(22)

bzw.

\zeta=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)\,(\xi-x_0)+f_y(x_0,y_0)\,(\eta-y_0)

(23)

beschrieben.

4.1 Wiederholung Differentialrechnung

4.1.1Partielle Ableitungen¶

4.1.2Differentialoperatoren¶

4.1.3Kurven¶

4.1.4Flächen¶