4.5 Zerfalls- und Wachstumsprozesse

Zerfallsprozesse und Wachstumsprozesse können durch gewöhnliche Differentialgleichungen beschrieben werden. Betrachten hier beispielhaft einen konkreten Zerfallsprozess.

4.5.1Problemstellung¶

Eine zum Zeitpunkt $t=0$ vorhandene Masse $m_0$ eines Materials unterliege dem radioaktiven Zerfall. Zu jedem Zeitpunkt $t\geq 0$ ist die Masse $m(t)$ des noch nicht zerfallenen Materials gesucht.

Dazu zunächst zwei Beobachtungen:

• Da Zerfallsprozesse je nach Material und Umgebung unterschiedlich schnell verlaufen können, muss das Modell einen Parameter enthalten, in den die Zerfallsgeschwindigkeit eingeht.

• Aus der Beobachtung von Zerfallsprozessen ist bekannt, dass der in einem Zeitintervall zerfallende Massenanteil nicht von der am Intervallanfang vorhandenen Masse abhängt, sondern nur von der Länge des Intervalls.

4.5.2Modell¶

Die Funktion $m:[0,\infty)\to\bbR$ soll durch eine gewöhnliche Differentialgleichung mit Anfangsbedingung beschrieben werden.

Aus obigen Beobachtungen erhält man die Beziehung

(IDV 430). Dies ist eine homogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten, welche die gesuchte Funktion $m:[0,\infty)\to\bbR$ beschreibt. Sie drückt aus, dass die Änderung $m'$ der Materialmenge stets proportional zur vorhandenen Materialmenge $m$ ist.

Zusätzlich ist eine Anfangsbedingung nötig:

4.5.3Untersuchung des Modells¶

Für $c>0$ sind die Lösungen offensichtlich monoton wachsend, sonst monoton fallend. Die allgemeine Lösung ist

mit $a\in\bbR$. Einsetzen des Anfangswertes liefert