4.4 Computertomografie

Die Computertomografie (CT) ist ein weit verbreitetes medizinisches und industrielles Bildgebungsverfahren.

4.4.1Funktionsweise¶

Grundidee:

1. Röntgenbilder aus vielen verschiedenen Richtungen aufnehmen.

2. Aus diesen Bildern Rückschlüsse auf die Strahlenabsorption im Inneren des Objekts schließen.

Dass man aus den Einzelbildern theoretisch das Innere des Objekts rekonstrukieren kann, ist seit 1917 bekannt (siehe Johann Radon und Radon-Transformation). Die technische Umsetzung benötigt aufgrund des Rechenaufwands einen Computer, sodass erst in den 1970er-Jahren erste CT-Geräte entwickelt wurden. Diese arbeiteten nach dem Parallelstrahlverfahren: Die Einzelbilder wurden schichtweise aufgenommen (also nur eine Rasterzeile jedes Bildes) und die Röntgenstrahlen liefen parallel durch das Objekt (vgl. Abbildung).

Heute sind fächerförmige Strahlenverläufe üblich. Teils werden die Schichten auch überlappend aufgenommen oder man löst sich gänzlich vom schichtweisen Vorgehen, indem Röntgenquelle und Detektor spiralförmig um das Objekt bewegt werden (Spiral- oder Helix-CT).

4.4.2Modellierung¶

Das Innere des Objekts in einer Aufnahmeschicht sei durch eine stetige Funktion $f:\bbR^2\to\bbR$ beschrieben, die nur im Inneren $\{(x,y)\in\bbR^2:\,x^2+y^2<1\}$ der Einheitskreisscheibe von Null verschieden ist. Der Wert $f(x,y)$ beschreibt die Absorption von Röntgenstrahlen im Punkt $(x,y)$ des Objekts aufgrund des dort vorhandenen Gewebes/Materials.

Der Aufnahmevorgang wird durch die Radon-Transformation beschrieben. Diese bildet stetige Funktionen $f:\bbR^2\to\bbR$ (wie oben) auf stetige Funktionen

ab, indem sie $f$ entlang parallel verlaufender Geraden integriert:

(IDV 420, schöne Animation). Bezeichnen wir mit $g(\alpha,\sigma)$ die vom Detekor zum durch $(\alpha,\sigma)$ beschriebenen Strahlverlauf gemessene Intensität, so gilt

wobei $c>0$ die Intensität der Röntgenquelle angibt (Lambert-beersches Gesetz). Wir erhalten also

für den Zusammenhang zwischen Messwerten $g(\alpha,\sigma)$ und der gesuchten Funktion $f$.

4.4.3Untersuchung des Modells¶

Die Radon-Transformation ist eine lineare Abbildung, kann also nach geeigneter Diskretisierung als Matrix-Vektor-Multiplikation umgesetzt werden.

Man kann zeigen: Zu gegebenem Sinogramm existiert stets eine Lösung und diese ist eindeutig bestimmt. Allerdings hängen die Lösungen nicht stetig von den Daten ab. Selbst sehr kleine Datenfehler (Rauschen) können zu extrem großen Abweichungen in den rekonstruierten Bildern führen.

Die unstetige Abhängigkeit der Lösung von den Daten ist kein (!) Modellierungsfehler, sondern in der Sache an sich begründet. Manche/viele Vorgänge in der Physik besitzen keine stetige Umkehrung. Diese Problematik muss bei der Auswahl eines Lösungsverfahrens unbedingt berücksichtigt werden.

Das Modell vernachlässigt diverse Details:

• Die Strahlen werden nie exakt entlang paralleler Geraden verlaufen, sondern sich mit Entfernung von der Quelle etwas aufweiten.

• Effekte wie Beugung, Brechung, Strahlaufhärtung werden nicht beachtet.

• Das Objekt wird als starr angenommen, obwohl die Aufnahme ein gewisses Zeitintervall in Anspruch nimmt, in dem Bewegungen stattfinden können.