4.2 Wiederholung Integralrechnung

Neben dem gewöhnlichen Integral

einer Funktion $f:[a,b]\to\bbR$ über einem Intervall $[a,b]$ gibt es auch Integralbegriffe für Funktionen mehrerer Veränderlicher zur Berechnung von Kurvenlängen, Inhalten gekrümmter Flächen, Volumen unregelmäßiger Körper und vielem mehr. Diese Integrale sind in ihrer Definition meist recht komplex, können aber stets auf gewöhnliche Integrale von Funktioner einer Veränderlichen zurückgeführt werden. Sammeln hier die entsprechenden Formeln, sodass einer Auswertung der Integrale mittels einfacher numerischer Integration nichts im Wege steht.

4.2.1Bereichsintegrale für ebene Bereiche¶

Eine Teilmenge $B\subseteq\bbR^2$ der Ebene heißt Normalbereich bzgl. der x-Achse, wenn sie in der Form

mit einem Intervall $[a,b]$ und Funktionen $g,h:[a,b]\to\bbR$ geschrieben werden kann.

Hat $B$ die Form

so handelt es sich um einen Normalbereich bzgl. der y-Achse.

Eine gegebene Menge kann gleichzeitig ein Normalbereich bzgl. der x-Achse und bzgl. der y-Achse sein.

Ist $B$ ein Normalbereich bzgl. der x-Achse und ist $f:B\to\bbR$ eine Funktion, so bezeichnen wir

als Bereichsintegral von $f$ über dem Bereich $B$.

Völlig analog sehen Bereichsintegrale für Normalbereiche bzgl. der y-Achse aus.

Bereichsintegrale können als Volumen unter dem Funktionsgraph interpretiert werden. Alternativ liefert das Bereichsintegral die Masse der Fläche $B$, wenn $f$ die Dichte (Masse pro Flächeneinheit) der Fläche beschreibt.

4.2.2Bereichsintegrale für räumliche Bereiche¶

Analog zu ebenen Normalbereichen kann man räumliche Normalbereiche einführen. Jede Reihung der Koordinatenachsen liefert einen anderen Typ von Normalbereich (insgesamt sechs Stück). Betrachten hier nur Normalbereiche bzgl. x-Achse, dann y-Achse:

mit Zahlen $a,b$ und Funktionen $g,h,p,q$. Räumliche Normalbereiche entstehen also aus ebenen Normalbereichen, die in z-Richtung zunächst zu einem unendlich langen Prisma erweitert. Dieses Prisma wird dann dann durch die Funktionen $p$ und $q$ “abgeschnitten”.

Das zugehörige Bereichsintegral kann als Schachtelung von drei gewöhnlichen eindimensionalen Integralen ausgedrückt werden:

Bereichsintegrale liefern das Volumen des Bereichs $B$, wenn die Funktion $f$ überall 1 ist. Interpretiert man $f$ als Dichte (Masse pro Volumen), so liefert das Bereichsintegral gerade die Masse des Bereichs.

4.2.3Kurvenintegrale erster Art¶

Sei durch

eine Kurve $K$ in der Ebene gegeben. Weiter sei $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ eine Funktion. Bezeichnen mit

das Kurvenintegral erster Art von $f$ entlang der Kurve $K$.

Für Kurven im Raum erfolgt die Definition völlig analog.

Ist $f$ überall 1, so liefert das Kurvenintegral erster Art gerade die Kurvenlänge. Interpretiert man $f$ als Dichte (Masse pro Länge), so liefert das Kurvenintegral erster Art die Masse der Kurve.

4.2.4Kurvenintegrale zweiter Art¶

Sei durch

eine Kurve $K$ in der Ebene gegeben. Weiter sei $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ eine Funktion. Bezeichnen mit

das Kurvenintegral zweiter Art von $f$ entlang der Kurve $K$.

Für Kurven im Raum erfolgt die Definition völlig analog.

Ist $f$ ein Kraftfeld, so liefert das Kurvenintegral zweiter Art die Arbeit, die beim Durchlaufen des Kraftfelds entlang der Kurve verrichtet wird.

Offensichtlich gilt

mit dem Tangentialvektor

4.2.5Oberflächenintegrale erster Art¶

Sei durch

eine Fläche im Raum gegeben und sei $f:S\to\mathbb{R}$ eine Funktion ein auf dieser Fläche definierte Funktion.

Bezeichnen mit

das Oberflächenintegral erster Art von $f$ über der Fläche $S$. Dabei ist

die Länge des durch das Kreuzprodukt gegebenen Normalenvektors.

Ist $f$ überall 1, so liefert das Oberflächenintegral erster Art den Flächeninhalt der Fläche $S$. Interpretiert man $f$ als Dichte (Masse pro Fläche), so erhält man mit dem Integral die Masse der Fläche.

4.2.6Oberflächenintegrale zweiter Art¶

Sei durch

eine Fläche im Raum gegeben und sei $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ ein Vektorfeld (welches üblicherweise im ganzen Raum gegeben ist, formal aber nur auf $S$ benötigt wird).

Bezeichnen mit

das Oberflächenintegral zweiter Art von $f$ über der Fläche $S$. Dabei ist

ein spezieller Normalenvektor an die Fläche $S$ im Punkt $x(u,v),y(u,v),z(u,v)$.

Beschreibt $f$ einen Materialstrom, so liefert das Oberflächenintegral zweiter Art die Menge des pro Zeiteinheit durch die Fläche $S$ strömenden Materials. Ist $S$ eine geschlossene Fläche (z.B. Kugeloberfläche) und zeigen die Normalenvektoren nach außen, so liefert das Integral die Materialmenge, die aus dem umschlossenen Bereich durch die Strömung heraus transportiert wird. Ein negativer Wert entspricht einem Transport in den Bereich hinein.

Offensichtlich gilt

4.2.7Integralsatz von Gau߶

Seien $B\subseteq\mathbb{R}^3$ und $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ hinreichend regulär. Dann gilt

wobei $\partial B$ die Oberfläche von $B$ bezeichne. Die Summe aller Quellen und Senken im Gebiet ist also gleich dem Fluss über den Rand.

Für zweidimensionale Bereiche und Vektorfelder gilt analog

mit dem Normalenvektor

an die durch die Koordinatenfunktionen $x$ und $y$ parametrisierte Kurve $\partial B$.