4.6 Pendel

4.6.1Problemstellung¶

Die Bewegung einer Masse an einem Fadenpendel soll simuliert werden. Dabei ist nur die Bewegung in einer Ebene von Interesse.

4.6.2Modell¶

Die Bewegung des Fadenpendels kann als Funktion $\varphi:[0,\infty)\to[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ beschrieben werden, die zu jedem Zeitpunkt $t$ die Auslenkung des Pendels als Winkel relativ zur Ruheposition angibt. Sind $\varphi(0)$ (Anfangsauslenkung) und $\varphi'(0)$ (Anfangswinkelgeschwindigkeit) vorgegeben, so ist der Bewegungsablauf durch das Newton’sche Gesetz

eindeutig vorherbestimmt. Dabei geben $x(t)$ und $y(t)$ die Koordinaten der Pendelmasse $m$ zur Zeit $t$ an und $F$ ist die auf die Pendelmasse wirkende Kraft. Diese kann prinzipiell von der Position (und somit indirekt von der Zeit) und auch direkt von der Zeit abhängen (Pendel befindet sich z.B. in einer zeitlich und räumlich veränderlichen Luftströmung). Wirkt nur die Schwerkraft, so erhält man aus dem Newton’schen Gesetz die Gleichung

zur Beschreibung der Pendelbewegung (IDV 440). Diese ist eine nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung, die sich nur sehr mühsam analytisch lösen lässt.

4.6.3Vereinfachtes Modell¶

Für kleine Auslenkungen kann man die Näherung

verwenden um eine einfacher zu lösende lineare gewöhnliche Differentialgleichung zu erhalten:

4.6.4Modellfehler¶

Der bei der Vereinfachung des Modells entstehende Modellfehler ist um so größer je größer die Auslenkung des Pendels ist. Ob die Situation diese Vereinfachung rechtfertigt, muss im Einzelfall entschieden werden. Zu bedenken ist, dass auch das nichtlineare Modell schon Fehler enthält, z.B.:

• Vernachlässigung der Reibung,

• Idealisierung von Seil und schwingendem Objekt als Massepunkt,

• Vernachlässigung der Dehnung des Seils durch Zugkraft.