1.1 Aussagen

Aussagen erkennen

Zunächst klären wir, welche sprachlichen und mathematischen Ausdrücke überhaupt einen Wahrheitswert besitzen.

Definition 1.1 (Aussage). Eine Aussage ist ein sprachlicher oder mathematischer Ausdruck, dem eindeutig einer der beiden Wahrheitswerte wahr (\(1\)) oder falsch (\(0\)) zukommt.

An einigen typischen Fällen lässt sich die Grenze zwischen Aussagen, Fragen und offenen Ausdrücken erkennen.

Beispiel. Beispiele und Gegenbeispiele zu Aussagen

Beispiele für Aussagen sind

• „\(17\) ist eine Primzahl“ (wahr)
• „\(7\cdot8=54\)“ (falsch)
• „\(\sqrt2>1\)“ (wahr)

Keine Aussagen sind dagegen

• „Schließen Sie das Fenster!“ (Aufforderung)
• „Konvergiert diese Reihe?“ (Frage)
• „\(x\) ist gerade“ (ohne eine Festlegung von \(x\), ist keine Zuordung eines Wahrheitswerts möglich)

Ob wir den Wahrheitswert bereits kennen, ist nicht entscheidend. Die Goldbachsche Vermutung lautet:

Jede gerade natürliche Zahl größer als \(2\) lässt sich als Summe zweier Primzahlen darstellen.

Sie ist eine Aussage, obwohl bis heute nicht bekannt ist, ob sie wahr oder falsch ist. Eine Frage wie „Wie spät ist es?“ hat dagegen keinen Wahrheitswert: Sie fordert eine Antwort ein, behauptet aber selbst nichts.

Auch der Kontext muss eindeutig sein. „Heute ist schönes Wetter“ ist ohne Ort, Zeitpunkt und ein objektives Kriterium nicht präzise genug. Ein Ausdruck wie \(x+2=5\) ist noch keine Aussage, solange \(x\) nicht festgelegt oder quantifiziert wurde; er wird später als Aussagefunktion behandelt.

Die Definition ist für unseren Einstieg bewusst streng formuliert. In der mathematischen Logik gibt es Aussagen, die in einem fest gewählten formalen System weder beweisbar noch widerlegbar sind. Solche unentscheidbaren Aussagen behandeln wir hier nicht; wir arbeiten mit der klassischen zweiwertigen Logik.

Häufiger Denkfehler

„Unbekannt“ ist kein dritter Wahrheitswert. Eine Aussage kann wahr oder falsch sein, obwohl wir gegenwärtig nicht wissen, welcher Fall vorliegt.

Negation von Aussagen

Um Aussagen systematisch umzuformen, benötigen wir zuerst eine eindeutige Bezeichnung für ihr Gegenteil.

Definition 1.2 (Negation). Die Negation \(\bar a\) einer Aussage \(a\) ist genau dann wahr, wenn \(a\) falsch ist. Besonders in der Informatik ist dafür auch die Schreibweise \(\neg a\) üblich.

\(a\)	\(\bar a\)
\(0\)	\(1\)
\(1\)	\(0\)

Bei längeren Ausdrücken reicht der Querstrich über die vollständig negierte Aussage, etwa \(\overline{(a\wedge b)}\).

Die Negation muss immer genau den entgegengesetzten Wahrheitswert besitzen. Die Negation von „Alle Abgaben sind vollständig“ lautet daher „Mindestens eine Abgabe ist nicht vollständig“. „Keine Abgabe ist vollständig“ wäre stärker und könnte zusammen mit der ursprünglichen Aussage falsch sein. Die systematischen Regeln dafür stehen in Abschnitt 1.3.

Zusammenfassung

• Eine Aussage besitzt eindeutig einen der Wahrheitswerte wahr oder falsch; Fragen, Aufforderungen und offene Ausdrücke sind keine Aussagen.
• Ob der Wahrheitswert bereits bekannt ist, entscheidet nicht darüber, ob ein Ausdruck eine Aussage ist.
• Die Negation \(\bar a\) besitzt stets den entgegengesetzten Wahrheitswert von \(a\).