7.7 Potenz-, Exponential- und Logarithmusfunktionen

Monotonie

Die Ordnung der reellen Zahlen erlaubt, Funktionen anhand der Richtung ihrer Werteentwicklung zu unterscheiden.

Definition 7.13 (Monotonie). Sei \(f:D\to\mathbb R\) mit \(D\subseteq\mathbb R\). Die Funktion hat die folgende Eigenschaft, falls die nebenstehende Bedingung für alle \(x_1,x_2\in D\) mit \(x_1<x_2\) gilt:

Bezeichnung geforderte Bedingung
monoton wachsend \(f(x_1)\leq f(x_2)\)
streng monoton wachsend \(f(x_1)<f(x_2)\)
monoton fallend \(f(x_1)\geq f(x_2)\)
streng monoton fallend \(f(x_1)>f(x_2)\)

Strenge Monotonie verhindert, dass zwei verschiedene Argumente denselben Wert liefern.

Satz 7.9 (Strenge Monotonie und Injektivität). Sei \(f:D\to W\) mit \(D,W\subseteq\mathbb R\) streng monoton. Dann ist \(f\) injektiv und die Funktion \(f:D\to f(D)\) ist bijektiv und umkehrbar.

Die Ordnung der Argumente liefert einen kurzen direkten Beweis.

Beweis. Für \(x_1\neq x_2\) gilt entweder \(x_1<x_2\) oder \(x_2<x_1\). Strenge Monotonie liefert in beiden Fällen \(f(x_1)\neq f(x_2)\). \(\square\)

Bloße Monotonie genügt nicht: Eine konstante Funktion auf \(\mathbb R\) ist monoton wachsend und fallend, aber nicht injektiv.

Fester Exponent, veränderliche Basis

Die Potenzgesetze kennen wir bereits. Jetzt betrachten wir den Zusammenhang zwischen Argument, Definitionsbereich und Graph.

Definition 7.14 (Potenzfunktion). Für \(\alpha\in\mathbb R\) heißt \[ P_\alpha:(0,\infty)\to(0,\infty),\qquad x\mapsto x^\alpha \] eine Potenzfunktion. Für \(\alpha>0\) setzen wir zusätzlich \(0^\alpha:=0\) und verwenden auch die Erweiterung \(P_\alpha:[0,\infty)\to[0,\infty)\).

Für beliebige reelle Exponenten ist \(x>0\) der gemeinsame sichere Definitionsbereich. Für ganzzahlige Exponenten sind weitere Argumente möglich: \(x\mapsto x^n\) mit \(n\in\mathbb N_0\) ist auf ganz \(\mathbb R\) definiert, bei negativen ganzen Exponenten muss \(0\) als Argument ausgeschlossen werden. Für \(n=0\) verwenden wir die konstante Polynomfunktion \(x\mapsto1\), auch bei \(x=0\); dabei nutzen wir die Konvention \(0^0:=1\). Stets gilt \(\sqrt{x^2}=|x|\).

Das Vorzeichen des Exponenten entscheidet über Monotonie und das Verhalten nahe null.

Bemerkung.

  • Für \(\alpha>0\) ist \(x\mapsto x^\alpha\) auf \([0,\infty)\) streng wachsend und bildet diese Menge bijektiv auf \([0,\infty)\) ab.
  • Für \(\alpha<0\) ist sie auf \((0,\infty)\) streng fallend und dort bijektiv auf \((0,\infty)\). Bei \(0\) ist sie nicht definiert.
  • Für \(\alpha\neq0\) lautet die Umkehrfunktion auf der jeweiligen Bildmenge \(y\mapsto y^{\frac1\alpha}\).
  • Für \(\alpha=0\) ist die Funktion konstant und auf \((0,\infty)\) nicht injektiv.

Exponentialfunktion

Bei exponentiellem Wachstum bewirkt derselbe Zuwachs des Arguments stets denselben Faktor, nicht denselben absoluten Zuwachs.

Definition 7.15 (Exponentialfunktion). Für \(b>0\) heißt \[ E_b:\mathbb R\to(0,\infty),\qquad x\mapsto b^x \] eine Exponentialfunktion.

Wir halten ein paar wesentliche Eigenschaften fest:

Bemerkung.

  • Es gilt \(b^0=1\) und \(b^x>0\) für alle \(x\in\mathbb R\).
  • Für \(b>1\) ist \(x\mapsto b^x\) streng wachsend, für \(0<b<1\) streng fallend.
  • Für \(b\neq1\) ist \(x\mapsto b^x\) bijektiv von \(\mathbb R\) auf \((0,\infty)\).
  • Für \(b=1\) ist \(x\mapsto b^x\) die konstante Funktion mit dem Wert \(1\).

Bei der Potenzfunktion \(x\mapsto x^\alpha\) verändert sich die Basis \(x\); bei der Exponentialfunktion \(x\mapsto b^x\) verändert sich der Exponent. Insbesondere haben \(x\mapsto x^2\) und \(x\mapsto2^x\) trotz ähnlicher Schreibweise ganz unterschiedliche Graphen. Die natürliche Exponentialfunktion ist \(x\mapsto\mathrm e^x\) mit \(\mathrm e\approx2{,}71828\).

Logarithmusfunktion

Wenn nach der Anzahl multiplikativer Wachstumsschritte gefragt wird, lösen wir die Exponentialgleichung nach dem Exponenten auf.

Definition 7.16 (Logarithmusfunktion). Für \(b>0\), \(b\neq1\) ist die Logarithmusfunktion \[ \log_b:(0,\infty)\to\mathbb R,\qquad x\mapsto\log_b x \] die Umkehrfunktion von \(E_b\). Für \(b=\mathrm e\) schreiben wir \(\ln\).

Wir beschreiben wichtige Eigenschaften und den Zusammenhang zwischen Logarithmus- und Exponentialfunktion:

Bemerkung.

  • Für \(x\in\mathbb R\) und \(y>0\) gilt \[ \log_b y=x\ \Longleftrightarrow\ b^x=y,\qquad b^{\log_b y}=y,\qquad \log_b(b^x)=x. \]

  • Für \(b>1\) ist \(x\mapsto\log_bx\) auf \((0,\infty)\) streng wachsend.

  • Für \(0<b<1\) ist \(x\mapsto\log_bx\) auf \((0,\infty)\) streng fallend.

  • Es gilt \(\log_b1=0\) und \(\log_bb=1\).

  • Für \(y>0\) und \(x\in\mathbb R\) liefern Basiswechsel und Exponentialdarstellung \[ \log_b y=\frac{\ln y}{\ln b},\qquad b^x=\mathrm e^{x\ln b}. \]

Produkt-, Quotienten- und Potenzregel für Logarithmen stehen bereits in Kapitel 3.1. Ein Logarithmus von \(0\) oder einer negativen Zahl ist hier nicht reell definiert.

Wachstum und Umkehrung im Graphen

Die Spiegelung an \(y=x\) verbindet eine bijektive Funktion mit ihrer Umkehrfunktion.

Links die Quadratfunktion auf nichtnegativen Argumenten und die Quadratwurzelfunktion als Spiegelbilder an y gleich x; rechts natürliche Exponentialfunktion und natürlicher Logarithmus mit derselben Spiegelgeraden.

Die Zahl möglicher Bitmuster wächst exponentiell; die benötigte Wortlänge wächst logarithmisch mit der Zahl unterscheidbarer Zustände.

Beispiel: Wie viele Bits braucht eine Kennung?

Ein System soll \(1000\) verschiedene Kennungen durch gleich lange Binärwörter darstellen. Wie groß muss die Wortlänge mindestens sein?

Bei \(n\) Bits gibt es \(2^n\) Wörter. Wir benötigen also \(2^n\geq1000\). Da \(\log_2\) streng monoton wachsend ist, bleibt beim Logarithmieren die Richtung der Ungleichung erhalten. Die folgenden Umformungen sind äquivalent: \[ \begin{aligned} 2^n\geq1000 &\ \Longleftrightarrow\ \log_2(2^n)\geq\log_2(1000)\\ &\ \Longleftrightarrow\ n\geq\log_2(1000) =\frac{\ln(1000)}{\ln2}. \end{aligned} \] Es ist \(\log_2(1000)\approx9{,}966\). Da die Wortlänge \(n\in\mathbb N_0\) ganzzahlig sein muss, runden wir auf: \[ n_{\min}=\left\lceil\log_2(1000)\right\rceil=10. \] Es sind also mindestens \(10\) Bits nötig. Allgemein ist die kleinste nichtnegative ganze Wortlänge für \(N\geq1\) gleich \(\lceil\log_2N\rceil\).

Basis und Exponent verändern

Wählen Sie Potenz-, Exponential- oder Logarithmusfunktion. Vergleichen Sie Basen kleiner und größer als \(1\) und untersuchen Sie negative Exponenten. Bei der Logarithmusfunktion erklärt ein Hinweis, warum \(b=1\) unzulässig ist.

Die orange gestrichelte Kurve zeigt die Grundfunktion mit den Startparametern, die türkise Kurve die veränderte Funktion. Alle Regler lassen sich auch mit den Pfeiltasten bedienen; unter dem Graphen stehen drei berechnete Werte.

Interaktiver Graph: Aktivieren Sie JavaScript, um die Parameter zu verändern. Die statische Abbildung und die Formeln darüber sind ohne JavaScript verfügbar.

Zusammenfassung

  • Strenge Monotonie liefert Injektivität und Umkehrbarkeit auf der Bildmenge.
  • Bei \(x\mapsto x^\alpha\) ist der Exponent fest, bei \(x\mapsto b^x\) die positive Basis.
  • Negative Exponenten schließen \(0\) aus; beliebige reelle Potenzen verwenden positive Basen.
  • Für \(b>0\), \(b\neq1\) sind \(x\mapsto b^x\) und \(x\mapsto\log_bx\) Umkehrfunktionen.
  • Exponentielle Anzahlen führen beim Auflösen nach der Größe zu Logarithmen.