4.1 Stellenwertsysteme
Stellen und Gewichte
In einem Stellenwertsystem hängt der Wert einer Ziffer nicht nur von der Ziffer selbst, sondern auch von ihrer Position ab. Im Dezimalsystem steht die Ziffer \(4\) in \(407\) für vier Hunderter; in \(0{,}04\) steht dieselbe Ziffer für vier Hundertstel. Die Basis bestimmt die Gewichte der Stellen.
Definition 4.1 (Stellenwertdarstellung). Seien \(b\in\mathbb N\) mit \(b\ge2\) und \(x_j\in\{0,1,\ldots,b-1\}\). Dann bezeichnet
\[ (x_p\ldots x_1x_0,x_{-1}\ldots x_{-q})_b =\sum_{j=-q}^{p}x_jb^j \]
eine Stellenwertdarstellung zur Basis \(b\). Die \(x_j\) heißen Ziffern; die Stelle \(j\) besitzt das Gewicht \(b^j\).
Es folgt eine Auswahl wichtiger Stellenwertsysteme:
Beispiel.
- \(b=2\): Binär- oder Dualsystem mit den Ziffern \(0,1\),
- \(b=8\): Oktalsystem mit den Ziffern \(0,\ldots,7\),
- \(b=10\): Dezimalsystem mit den Ziffern \(0,\ldots,9\),
- \(b=16\): Hexadezimalsystem mit \(0,\ldots,9,A,B,C,D,E,F\) für die Werte \(0,\ldots,15\).
Zum Beispiel gilt
\[ (47)_{10}=(101111)_2=(57)_8=(2F)_{16}. \]
Eine Darstellung auswerten
Beim Lesen einer Darstellung wird jede Ziffer mit ihrem Stellengewicht multipliziert. Links vom Komma treten nichtnegative, rechts vom Komma negative Exponenten der Basis auf.
Beispiel: Eine Hexadezimalzahl lesen
Welchen Dezimalwert besitzt \((2A,C)_{16}\)?
(Un-)Eindeutigkeit der Zahlendarstellung
Stellenwertdarstellungen sind nicht immer eindeutig. Beispielsweise gilt
\[ (0,\overline9)_{10}=(1)_{10} \]
Im Allgemeinen gilt sogar \((0,\overline{b-1})_b=(1)_b\). Um Eindeutigkeit zu erhalten, schließt man Darstellungen aus, die ab einer Stelle nur noch die Ziffer \(b-1\) verwenden.
Endliche und unendliche Nachkommastellen
Ob eine rationale Zahl in einer Basis endlich darstellbar ist, hängt von den Primteilern ihres gekürzten Nenners ab.
Satz 4.1 (Endliche Nachkommendarstellung). Sei \(\frac rs\) eine vollständig gekürzte rationale Zahl und \(b\in \mathbb{N}\setminus\{1\}\). Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
- Die Zahl \(\frac rs\) besitzt eine endliche Darstellung zur Basis \(b\).
- \(\exists k\in\mathbb N:\; s\mid b^k\).
- Jeder Primteiler von \(s\) teilt auch die Basis \(b\).
Eine rationale Zahl kann also in einer Basis endlich und in einer anderen unendlich periodisch sein. Irrationale Zahlen besitzen in jeder Basis eine unendliche, nichtperiodische Darstellung.
Zusammenfassung
- Die Basis \(b\) bestimmt Ziffernvorrat und Stellengewichte \(b^j\).
- Eine Darstellung wird durch \(\sum_jx_jb^j\) ausgewertet.
- Endliche Nachkommendarstellungen hängen von Basis und Nenner ab.
- Perioden aus lauter maximalen Ziffern führen zu einer zweiten Darstellung desselben Zahlenwerts.