3.4 Schranken und Grenzen
Maximum und Minimum
Maximum und Minimum sind Elemente einer Menge, die von keinem anderen Element über- beziehungsweise unterschritten werden.
Definition 3.6 (Maximum und Minimum). Sei \(\emptyset\ne M\subseteq\mathbb R\).
- Ein Element \(x_{\max}\in M\) heißt Maximum von \(M\), wenn \(x\le x_{\max}\) für alle \(x\in M\) gilt.
- Ein Element \(x_{\min}\in M\) heißt Minimum von \(M\), wenn \(x_{\min}\le x\) für alle \(x\in M\) gilt.
Ob ein Randwert angenommen wird, entscheidet darüber, ob er ein Maximum oder Minimum ist.
Beispiel (Maximum und Minimum). Für \(A=(-1,3]\) gilt:
- \(\max A=3\).
- \(\min A\) existiert nicht.
Schranken, Supremum und Infimum
Schranken begrenzen eine Menge, müssen aber selbst nicht zur Menge gehören. Supremum und Infimum bezeichnen die jeweils “bestmögliche” Schranke.
Definition 3.7 (Schranken, Supremum und Infimum). Sei \(M\subseteq\mathbb R\).
- Eine Zahl \(s\in\mathbb R\) heißt obere Schranke von \(M\), wenn \(x\le s\) für alle \(x\in M\) gilt. Existiert eine obere Schranke, heißt \(M\) nach oben beschränkt.
- Eine Zahl \(t\in\mathbb R\) heißt untere Schranke von \(M\), wenn \(t\le x\) für alle \(x\in M\) gilt. Existiert eine untere Schranke, heißt \(M\) nach unten beschränkt.
- Die kleinste obere Schranke von \(M\) heißt Supremum \(\sup M\); die größte untere Schranke heißt Infimum \(\inf M\).
- Eine nach oben und nach unten beschränkte Menge heißt beschränkt.
Der nächste Satz zeigt, dass Supremum und Infimum einer (beschränkten) Teilmengen aus \(\mathbb R\) immer existieren.
Satz 3.5 (Ordnungsvollständigkeit der reellen Zahlen). Jede nichtleere, nach oben beschränkte Menge \(M\subseteq\mathbb R\) besitzt ein Supremum. Jede nichtleere, nach unten beschränkte Menge besitzt ein Infimum.
Es gilt
\[ \sup M\in M\quad\Longrightarrow\quad \sup M=\max M. \]
\[ \inf M\in M\quad\Longrightarrow\quad \inf M=\min M. \]
Liegen also \(\sup M\) bzw. \(\inf M\) in der Menge \(M\), so sind sie gleich \(\max M\) bzw. \(\min M\).
Unbeschränkte Mengen werden in erweiterter Schreibweise durch \(\sup M=\infty\) beziehungsweise \(\inf M=-\infty\) gekennzeichnet. Dabei sind \(\pm\infty\) keine reellen Zahlen.
Beispiel: Offenes und abgeschlossenes Intervall
Vergleichen Sie \(A=(0,1)\) und \(B=(0,1]\) hinsichtlich Infimum, Supremum, Minimum und Maximum.
Anwendung: Spezifikationen
In der Informatik sind Schranken häufig Garantien: eine maximale Laufzeit, ein minimaler Durchsatz oder eine obere Fehlerschranke. Ob eine Grenze erreichbar ist, ist eine davon getrennte Frage.
Beispiel: Gemessene Antwortzeiten
Für \(n\in\mathbb N\) sei \(t_n=200-\frac{1}{n}\) die modellierte Antwortzeit in Millisekunden. Bestimmen Sie Supremum und Maximum von \(T=\{t_n\mid n\in\mathbb N\}\).
Zusammenfassung
- Eine obere Schranke liegt über allen Elementen, eine untere unter allen Elementen der Menge.
- Supremum und Infimum sind die bestmöglichen Schranken, müssen aber nicht zur Menge gehören.
- Maximum und Minimum sind tatsächlich angenommene Extremwerte.
- Die Existenz eines Supremums für jede nichtleere, nach oben beschränkte reelle Menge ist eine Vollständigkeitseigenschaft von \(\mathbb R\).