3.2 Betrag und Ordnung
Betrag und Abstand
Der Betrag beschreibt die Größe einer Zahl unabhängig von ihrem Vorzeichen. Geometrisch misst er einen Abstand auf der Zahlengeraden.
Definition 3.3 (Betrag und Vorzeichen). Für \(x\in\mathbb R\) ist
\[ |x|:=\begin{cases} x,&x\ge0,\\ -x,&x<0, \end{cases} \qquad \operatorname{sgn}(x):=\begin{cases} 1,&x>0,\\ 0,&x=0,\\ -1,&x<0. \end{cases} \]
Der Abstand zweier Zahlen \(a,b\in\mathbb R\) ist \(|a-b|\). Insbesondere ist \(|a|=|a-0|\) der Abstand von \(a\) zum Ursprung.
Es gelten \(|a|=|-a|\), \(a=|a|\operatorname{sgn}(a)\), \(|ab|=|a||b|\) und für \(b\ne0\) auch \(\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}\).
Beispiel: Toleranz beim Testen numerischer Programme
Ein Programm liefert \(x=0{,}3000004\), erwartet wird \(y=0{,}3\). Ein Test soll höchstens eine Abweichung von \(10^{-6}\) akzeptieren.
Runden
Die Abrundungs- und Aufrundungsfunktion übersetzen reelle Größen in ganze Anzahlen. Das wird etwa bei Seitenzahlen, Speicherblöcken oder Paketen benötigt.
Definition 3.4 (Abrunden und Aufrunden). Für \(x\in\mathbb R\) ist
\[\lfloor x\rfloor:=\max\{z\in\mathbb Z\mid z\le x\}\]
die größte ganze Zahl, die höchstens \(x\) ist, und
\[\lceil x\rceil:=\min\{z\in\mathbb Z\mid z\ge x\}\]
die kleinste ganze Zahl, die mindestens \(x\) ist.
Die Zeichen \(\lfloor\,\cdot\,\rfloor\) und \(\lceil\,\cdot\,\rceil\) heißen Gaußklammern.
Beim Aufteilen einer Datenmenge muss auch ein nur teilweise gefülltes letztes Paket mitgezählt werden.
Beispiel: Daten in Pakete zerlegen
\(10\,000\) Byte sollen in Pakete mit höchstens \(1500\) Byte Nutzlast aufgeteilt werden. Wie viele Pakete werden benötigt?
Teilbarkeit, ggT und kgV
Für periodische Abläufe und modulare Verfahren ist nicht nur die Größe, sondern auch die Teilbarkeit ganzer Zahlen wichtig.
Definition 3.5 (Teilbarkeit, ggT und kgV). Für \(a,b\in\mathbb Z\) bedeutet
\[a\mid b\quad\Longleftrightarrow\quad \text{es gibt ein }k\in\mathbb Z\text{ mit }ak=b.\]
Für nicht gleichzeitig verschwindende ganze Zahlen \(a,b\) ist
\[\operatorname{ggT}(a,b)=\max\{n\in\mathbb N\mid n\mid a\ \wedge\ n\mid b\}.\]
Für \(a,b\ne0\) ist
\[\operatorname{kgV}(a,b)=\min\{n\in\mathbb N\mid a\mid n\ \wedge\ b\mid n\}.\]
Es gilt
\[\operatorname{ggT}(a,b)\cdot\operatorname{kgV}(a,b)=|a\cdot b|.\]
Gemeinsame Teiler und Vielfache lassen sich bei kleinen Zahlen direkt auflisten und mit der Produktformel kontrollieren.
Beispiel: ggT und kgV bestimmen
Für \(18\) und \(24\) sind die gemeinsamen positiven Teiler \(1,2,3,6\); der größte davon ist also \(\operatorname{ggT}(18,24)=6\). Bei den positiven Vielfachen findet man
\[18,36,54,\mathbf{72},\ldots \qquad\text{und}\qquad 24,48,\mathbf{72},\ldots\]
Damit ist \(\operatorname{kgV}(18,24)=72\). Zur Kontrolle gilt \(6\cdot72=18\cdot24\).
Ordnung und Abschätzungen
Je zwei reelle Zahlen sind vergleichbar: Für \(a,b\in\mathbb R\) gilt entweder \(a\le b\) oder \(a>b\). Mit Betrag und Ordnung lassen sich wichtige allgemeine Abschätzungen formulieren.
Satz 3.3 (Dreiecks- und Mittelwertungleichung). Für \(a_1,\ldots,a_n\in\mathbb R\) gilt
\[|a_1+\ldots+a_n|\le |a_1|+\ldots+|a_n|. \tag{3.1}\]
Sind zusätzlich alle \(a_i\ge0\), so gilt
\[ \underbrace{\sqrt[n]{a_1\cdot\ldots\cdot a_n}}_{\text{geometrisches Mittel}} \le \underbrace{\frac{a_1+\ldots+a_n}{n}}_{\text{arithmetisches Mittel}}. \]
Formel 3.1 besagt insbesondere, dass ein direkter Weg nie länger als ein Weg über Zwischenstationen ist.
Beispiel: Gesamtlänge zusammengesetzter Kabel abschätzen
Drei Kabelstücke mit den Soll-Längen \(2{,}0\,\mathrm m\), \(1{,}5\,\mathrm m\) und \(0{,}8\,\mathrm m\) werden aneinandergehängt. Produktionsbedingt können die tatsächlichen Längen um \(0{,}002\,\mathrm m\), \(0{,}005\,\mathrm m\) bzw \(0{,}001\,\mathrm m\) von den Soll-Längen abweichen. Wie groß ist die mögliche tatsächliche Gesamtlänge?
Bei Gleichungen mit Beträgen führt die Fallunterscheidung nach dem Vorzeichen des inneren Terms zu Gleichungen ohne Betragszeichen.
Beispiel: Quadratische Gleichung mit Berägen lösen
Für welche \(x\in\mathbb R\) gilt
\[ |x + 3|- 2 = 5x^2 +9x \]
Zusammenfassung
- \(|a-b|\) ist der Abstand der Zahlen \(a\) und \(b\).
- \(\lfloor x\rfloor\) rundet ab, \(\lceil x\rceil\) rundet auf.
- Teilbarkeit, ggT und kgV beschreiben gemeinsame ganzzahlige Strukturen und periodische Takte.
- Die Dreiecksungleichung liefert robuste Abschätzungen für Summen und Fehler.