2.2 Teilmengen und Mengengleichheit
Mengengleichheit
Ob zwei Mengen gleich sind oder eine Menge in einer anderen enthalten ist, wird ausschließlich über ihre Elemente entschieden.
Definition 2.4 (Gleichheit und Teilmenge). Seien \(A\) und \(B\) Mengen.
- Gleichheit: \(A=B\), falls für jedes \(x\) gilt \(x\in A\Longleftrightarrow x\in B\).
- Teilmenge: \(A\subseteq B\), falls für jedes \(x\) gilt \(x\in A\Longrightarrow x\in B\).
- Echte Teilmenge: \(A\subsetneq B\), falls \(A\subseteq B\) und \(A\ne B\).
Insbesondere gelten immer \(\emptyset\subseteq A\) und \(A\subseteq A\). Um die Mehrdeutigkeit des Symbols \(\subset\) zu vermeiden, verwenden wir im Kurs konsequent \(\subseteq\) für „Teilmenge“ und \(\subsetneq\) für „echte Teilmenge“.
Gleichheit beweisen
Für Mengengleichheiten gibt es eine verlässliche Beweisstrategie, die wir in späteren Kapiteln häufig wiederverwenden.
Satz 2.1 (Beidseitige Inklusion). Für beliebige Mengen \(A\) und \(B\) gilt
\[A=B\quad\Longleftrightarrow\quad (A\subseteq B)\ \wedge\ (B\subseteq A).\]
Zum Beweis einer Gleichheit zeigt man daher nacheinander beide Inklusionen:
- Wähle ein beliebiges \(x\in A\) und zeige \(x\in B\).
- Wähle ein beliebiges \(x\in B\) und zeige \(x\in A\).
Das folgende Beispiel zeigt, wie sich eine beschreibende und eine parametrisierte Darstellung als dieselbe Menge nachweisen lassen.
Beispiel: Die Menge der ungeraden ganzen Zahlen
Es seien
\[A=\{n\in\mathbb Z\mid n\text{ ist ungerade}\}, \qquad B=\{2k+1\mid k\in\mathbb Z\}.\]
Zeigen Sie \(A=B\).
Die Potenzmenge
Mit der Potenzmenge wird aus allen Teilmengen einer Menge wieder ein neues mathematisches Objekt.
Definition 2.5 (Potenzmenge). Die Potenzmenge einer Menge \(A\) ist die Menge aller Teilmengen von \(A\):
\[\mathcal P(A)=\{B\mid B\subseteq A\}.\]
Die Potenzmenge erhält man, indem man alle möglichen Auswahlen von Elementen zusammenstellt.
Beispiel: Potenzmenge einer dreielementigen Menge
Bestimmen Sie \(\mathcal P(\{a,b,c\})\).
Zusammenfassung
- \(x\in A\) beschreibt eine Elementbeziehung, \(B\subseteq A\) eine Teilmengenbeziehung.
- Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente besitzen.
- Mengengleichheiten werden häufig durch die beiden Inklusionen \(A\subseteq B\) und \(B\subseteq A\) bewiesen.
- Die Potenzmenge \(\mathcal P(A)\) enthält alle Teilmengen von \(A\).