7.3 Umkehrfunktionen und Verkettungen

Eine Zuordnung rückgängig machen

Eine Ausgabe bestimmt ihre Eingabe genau dann eindeutig, wenn die Funktion bijektiv auf den angegebenen Wertebereich ist.

Definition 7.5 (Umkehrfunktion). Ist \(f:X\to Y\) bijektiv, so heißt die Funktion \[ f^{-1}:Y\to X,\qquad y\mapsto \text{das eindeutige }x\text{ mit }f(x)=y \] die Umkehrfunktion von \(f\).

Zum Bestimmen lösen wir \(y=f(x)\) eindeutig nach \(x\) auf. Der Wertebereich von \(f\) wird zum Definitionsbereich von \(f^{-1}\). Bei reellen Funktionen entsteht der Graph von \(f^{-1}\) durch Spiegelung an \(y=x\). Ist \(f\) nur injektiv, kehren wir zunächst \(f:X\to f(X)\) um.

Die drei ähnlich aussehenden Schreibweisen haben verschiedene Bedeutungen.

Beachte:

  • \(f^{-1}(y)\) ist ein Funktionswert der Umkehrfunktion, sofern diese existiert.
  • \(f^{-1}(B)\) ist ein Urbild einer Menge und ist für jede Funktion definiert.
  • \(\frac{1}{f(x)}\) ist dagegen ein Kehrwert, sofern \(f(x)\neq0\).

Auch wenn die Umkehrformel auf einer größeren Menge auswertbar wäre, gehört ihr Definitionsbereich zur Umkehrfunktion dazu.

Beispiel: Verschobene Wurzelfunktion

Gegeben ist die Vorschrift \(f(x)=\sqrt{x-1}+3\) mit Definitionsbereich \([1,\infty)\).

  1. Zeigen Sie die Injektivität direkt anhand der Definition.
  2. Bestimmen Sie die Bildmenge und begründen Sie die Wahl des Wertebereichs für Bijektivität.
  3. Stellen Sie \(y=f(x)\) nach \(x\) um und geben Sie die Umkehrfunktion einschließlich beider Mengen an.

(1) Injektivität: Für \(x_1,x_2\in[1,\infty)\) gilt \[ \begin{aligned} f(x_1)=f(x_2)&\ \Longrightarrow\ \sqrt{x_1-1}=\sqrt{x_2-1}\\ &\ \Longrightarrow\ x_1-1=x_2-1\\ &\ \Longrightarrow\ x_1=x_2. \end{aligned} \] Damit ist \(f\) injektiv.

(2) Bild und Wertebereich: Behauptung: \([3,\infty)=f([1,\infty))\).

  • Sei \(y\in[3,\infty)\). Setze \(x=(y-3)^2+1\geq1\). Dann gilt \[ f(x)=\sqrt{(y-3)^2}+3=y, \] da \(y-3\geq0\). Also liegt \(y\) im Bild der Funktion: \(y\in f([1,\infty))\).
  • Sei \(y\in f([1,\infty))\). Dann gibt es ein \(x\geq1\) mit \(y=f(x)=\sqrt{x-1}+3\geq3\). Also ist \(y\in[3,\infty)\).

Für Surjektivität muss der Wertebereich genau die Bildmenge sein. Wir wählen also \(W_f=[3,\infty)\). Da \(f\) bereits injektiv ist, ist \(f:[1,\infty)\to[3,\infty)\) mit dieser Wahl bijektiv.

(3) Umkehrfunktion: Für \(y\geq3\) stellen wir um: \[ \begin{aligned} y=\sqrt{x-1}+3&\ \Longleftrightarrow\ y-3=\sqrt{x-1}\\ &\ \Longleftrightarrow\ (y-3)^2=x-1\\ &\ \Longleftrightarrow\ x=(y-3)^2+1. \end{aligned} \] Somit lautet die Umkehrfunktion \[ f^{-1}:[3,\infty)\to[1,\infty),\qquad y\mapsto(y-3)^2+1. \] Der Ausdruck ist zwar für alle reellen \(y\) definiert, doch die Umkehrfunktion hat nur Argumente \(y\geq3\).

Funktionen hintereinander ausführen

Bei einer Verarbeitungskette muss jede Ausgabe des ersten Schritts eine erlaubte Eingabe des zweiten Schritts sein.

Definition 7.6 (Verkettung). Seien \(f:D_f\to U\) und \(g:D_g\to V\) Funktionen mit \(g(D_g)\subseteq D_f\). Ihre Verkettung ist \[ f\circ g:D_g\to U,\qquad x\mapsto f(g(x)). \] Es wird zuerst \(g\), dann \(f\) angewendet.

Bemerkung. Die Bedingung ist insbesondere erfüllt, wenn \(g(D_g)=D_f\). Auch wenn der Wertebereich \(V\) von \(g\) mit \(D_f\) übereinstimmt, gilt sie automatisch, denn \(g(D_g)\subseteq V=D_f\).

Wie bei der Komposition von Relationen wird die rechte Abbildung zuerst ausgeführt. Zum Beispiel berechnet „Textlänge nach Umwandlung in einen Binärtext“ die Länge des erzeugten Textes. Bei Formeln unterscheidet sich \(f(g(x))\) im Allgemeinen von \(g(f(x))\). Für \(g(x)=x^2\) und \(f(x)=x+1\) ergibt sich \(x^2+1\) bzw. \((x+1)^2\).

Identität und inverse Verkettung

Die Identitätsabbildung \(\operatorname{id}_{D_f}:D_f\to D_f\), \(x\mapsto x\), beschreibt einen Verarbeitungsschritt ohne Änderung.

Satz 7.2 (Regeln für Verkettung und Umkehrung). Seien \(f:D_f\to U\), \(g:D_g\to V\) und \(h:D_h\to W\) Funktionen mit \(g(D_g)\subseteq D_f\) und \(f(D_f)\subseteq D_h\).

Es gilt das Assoziativgesetz \[ h\circ(f\circ g)=(h\circ f)\circ g. \] Ist \(f\) bijektiv, so gilt \[ f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_{D_f},\qquad f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_U. \] Sind \(f\) und \(g\) bijektiv, so ist \(f\circ g:D_g\to f(g(D_g))\) bijektiv. Die Umkehrfunktion ist gegeben durch \[ (f\circ g)^{-1}(y)=g^{-1}(f^{-1}(y)),\qquad y\in f(g(D_g)). \] Bei \(g(D_g)=D_f\) ist dabei \(f(g(D_g))=U\).

Die letzte Regel entspricht dem Rückgängigmachen einer Verarbeitungskette in umgekehrter Reihenfolge.

Beweis

Beweis. Das Assoziativgesetz folgt durch Auswerten: Beide Seiten liefern \(h(f(g(x)))\). Die angegebenen Inklusionen sichern, dass alle Verkettungen definiert sind. Die Identitäten folgen unmittelbar aus der Definition der Umkehrfunktion.

Für die letzte Aussage setzen wir \(B=f(g(D_g))\) und definieren \(k:B\to D_g\), \(k(y)=g^{-1}(f^{-1}(y))\). Für \(y\in B\) liegt \(f^{-1}(y)\) in \(g(D_g)=V\), sodass \(k\) definiert ist. Für \(x\in D_g\) und \(y\in B\) gilt \[ \begin{aligned} k((f\circ g)(x))&=g^{-1}(f^{-1}(f(g(x))))=x,\\ (f\circ g)(k(y))&=f(g(g^{-1}(f^{-1}(y))))=y. \end{aligned} \] Damit ist \(f\circ g:D_g\to B\) bijektiv und \(k\) ihre Umkehrfunktion. \(\square\)

Zusammenfassung

  • Nur eine Bijektion \(X\to Y\) besitzt eine Umkehrfunktion \(Y\to X\).
  • Bei einer injektiven Funktion kann der Wertebereich zuerst auf die Bildmenge \(f(X)\) beschränkt werden.
  • In \(f\circ g\) wird \(g\) zuerst angewendet; die Mengen müssen zusammenpassen.
  • Die Verkettung ist assoziativ, im Allgemeinen aber nicht kommutativ.
  • Beim Umkehren einer Verkettung kehrt sich die Reihenfolge der Schritte um.