7.10 Arcus- und Areafunktionen

Periodische Funktionen geeignet einschränken

Sinus ist auf ganz \(\mathbb R\) nicht injektiv. Auf \([-\frac\pi2,\frac\pi2]\) wächst er jedoch streng und erreicht genau \([-1,1]\). Wir wählen einen solchen bijektiven Abschnitt, bevor wir die Richtung umkehren.

Definition 7.22 (Arcusfunktionen). Die Arcusfunktionen sind die Umkehrfunktionen der folgenden Einschränkungen:

Umkehrfunktion Definitionsbereich Zielmenge umgekehrte Einschränkung
\(\arcsin\) \([-1,1]\) \([-\frac\pi2,\frac\pi2]\) \(\sin|_{[-\frac\pi2,\frac\pi2]}\)
\(\arccos\) \([-1,1]\) \([0,\pi]\) \(\cos|_{[0,\pi]}\)
\(\arctan\) \(\mathbb R\) \((-\frac\pi2,\frac\pi2)\) \(\tan|_{(-\frac\pi2,\frac\pi2)}\)
\(\operatorname{arccot}\) \(\mathbb R\) \((0,\pi)\) \(\cot|_{(0,\pi)}\)

Für \(\operatorname{arccot}\) verwenden wir ausdrücklich die Konvention mit Bildmenge \((0,\pi)\). Es gilt \(\operatorname{arccot}x=\frac\pi2-\arctan x\). Die Funktionswerte sind Winkel im Bogenmaß.

Sinus und Arcussinus verketten

Beim Verketten von Sinus und Arcussinus müssen wir die gewählten Bereiche beachten.

  • Für jedes \(y\in[-1,1]\) gilt \(\sin(\arcsin y)=y\).

  • Die Gleichung \(\arcsin(\sin x)=x\) gilt dagegen nur für \(x\in[-\frac\pi2,\frac\pi2]\).

    Beispielsweise ist \(\arcsin(\sin\pi)=\arcsin0=0\).

Alle Lösungen einer trigonometrischen Gleichung bestimmen

Eine grafische Darstellung hilft, alle Lösungen einer trigonometrischen Gleichung zu erfassen. Für \(\sin x=y\) suchen wir die Abszissen sämtlicher Schnittpunkte des Sinusgraphen mit der waagerechten Geraden auf Höhe \(y\). Dabei liefert \(\arcsin y\) für \(y\in[-1,1]\) zunächst eine Lösung im festgelegten Intervall, den Hauptwert. Aus den Symmetrien und der Periodizität des Sinus ergeben sich weitere Lösungen. Am Graphen wird anschaulich, wie diese entstehen und sich zu Lösungsfamilien zusammenfassen lassen.

Für \(y\in[-1,1]\) lauten alle Lösungen von \(\sin x=y\) \[ x=\arcsin y+2k\pi\quad\text{oder}\quad x=\pi-\arcsin y+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z. \] Bei \(y=\pm1\) fallen die beiden Lösungsfamilien zusammen.

Zwei Lösungsfamilien im Sinusgraphen

Sinusgraph mit einer waagerechten Geraden auf Höhe y zwischen null und eins. Türkise Kreise markieren alle sichtbaren Punkte der Familie x gleich arcsin y plus zwei k pi, orange Rauten alle sichtbaren Punkte der Familie x gleich pi minus arcsin y plus zwei k pi. Die Abszissen sind mit theta und pi minus theta sowie den Verschiebungen um zwei pi beschriftet.

Der Hauptwert \(\theta=\arcsin y\) und der gespiegelte Winkel \(\pi-\theta\) liefern dieselbe Höhe \(y\). Die Periodizität erzeugt durch Verschiebungen um \(2k\pi\) die weiteren Punkte beider Farben. Die Skizze zeigt den Fall \(0<y<1\).

Sinus umkehren und Arcuswerte vergleichen

Links Sinus im bijektiven Hauptzweig und sein Spiegelbild arcsin an y gleich x; rechts die Kurven von arctan und arccot mit ihren unterschiedlichen Bildintervallen.

Bei einem Signal liefert der Arcuswert einen möglichen Winkel; die Periodizität erzeugt weitere passende Zeitpunkte.

Beispiel: Alle Zeitpunkte eines Signalwerts

Bestimmen Sie alle reellen \(t\) mit \(\sin(2t)=\frac12\).

\(\arcsin(\frac12)=\frac\pi6\). Daher gilt \(2t=\frac\pi6+2k\pi\) oder \(2t=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\). Also \[ t=\frac\pi{12}+k\pi\quad\text{oder}\quad t=\frac{5\pi}{12}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z. \]

Graph der Funktion t wird auf sin von zwei t abgebildet mit der waagerechten Geraden y gleich ein halb. Türkise Kreise zeigen die Zeitpunkte pi durch zwölf plus k pi, orange Rauten die Zeitpunkte fünf pi durch zwölf plus k pi. Im sichtbaren Ausschnitt sind die sechs Zeitpunkte minus elf pi durch zwölf, minus sieben pi durch zwölf, pi durch zwölf, fünf pi durch zwölf, dreizehn pi durch zwölf und siebzehn pi durch zwölf markiert.

Auf der waagerechten Achse steht hier \(t\). Die Punkte jeder Farbe wiederholen sich im Abstand \(\pi\), da das Argument des Sinus \(2t\) ist.

Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen

\(\sinh\) und \(\tanh\) sind bereits auf \(\mathbb R\) injektiv. Bei \(\cosh\) wählen wir den nichtnegativen Zweig.

Definition 7.23 (Areafunktionen). Die folgenden Umkehrfunktionen heißen Areafunktionen:

Funktion Definitionsbereich Zielmenge Umkehrfunktion von
\(\operatorname{arsinh}\) \(\mathbb R\) \(\mathbb R\) \(\sinh\)
\(\operatorname{arcosh}\) \([1,\infty)\) \([0,\infty)\) \(\cosh|_{[0,\infty)}\)
\(\operatorname{artanh}\) \((-1,1)\) \(\mathbb R\) \(\tanh\)
\(\operatorname{arcoth}\) \(\mathbb R\setminus[-1,1]\) \(\mathbb R\setminus\{0\}\) \(\coth\)

\(\coth\) ist auf seinem gesamten Definitionsbereich injektiv, obwohl es dort nicht streng monoton ist: Die beiden Äste besitzen disjunkte Bildmengen. Diese Beobachtung zeigt auch, dass strenge Monotonie für Injektivität hinreichend, aber nicht notwendig ist.

Areafunktionen mit Logarithmen berechnen

Durch Auflösen der Exponentialdarstellungen erhält man explizite Formeln für die Umkehrfunktionen.

Satz 7.13 (Logarithmusdarstellungen der Areafunktionen). Auf dem jeweiligen Definitionsbereich gilt \[ \begin{aligned} \operatorname{arsinh}x&=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right),\\ \operatorname{arcosh}x&=\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right),\\ \operatorname{artanh}x&=\frac12\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right),\\ \operatorname{arcoth}x&=\frac12\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right). \end{aligned} \]

Wir beweisen nur die erste der vier Gleichungen. Die anderen drei lassen sich analog herleiten.

Beweis

Beweis. Aus \(y=\sinh x=\frac{\mathrm e^x-\mathrm e^{-x}}2\) folgt mit \(u=\mathrm e^x>0\) die Gleichung \(u^2-2yu-1=0\). Ihre Lösungen sind \(u=y\pm\sqrt{y^2+1}\). Wegen \(\sqrt{y^2+1}>|y|\) ist genau die Lösung mit Pluszeichen positiv. Logarithmieren ergibt \(x=\ln(y+\sqrt{y^2+1})\). \(\square\)

Die Definitionsbereiche sichern in allen vier Formeln positive Logarithmusargumente. Bei \(\operatorname{arcosh}\) wäre der Ausdruck unter der Wurzel allein auch für \(x\leq-1\) nichtnegativ; der Logarithmus ist dort jedoch nicht reell definiert.

Die vier Areafunktionen im Vergleich

Die offenen Grenzen bei \(\operatorname{artanh}\) und die beiden getrennten Äste bei \(\operatorname{arcoth}\) spiegeln die Bildmengen ihrer Ausgangsfunktionen.

Links arsinh auf der reellen Achse und arcosh ab x gleich eins; rechts artanh auf minus eins bis eins und die beiden äußeren Äste von arcoth. Die Argumentgrenzen minus eins und eins sind markiert.

Umkehrzweige untersuchen

Vergleichen Sie die Definitionsbereiche der Arcus- und Areafunktionen. Wählen Sie den kleinen Bildausschnitt, um die Grenzen bei \(-1\) und \(1\) zu betrachten. Verschieben Sie anschließend den Graphen mit \(h\).

Die orange gestrichelte Kurve zeigt die Grundfunktion mit den Startparametern, die türkise Kurve die veränderte Funktion. Alle Regler lassen sich auch mit den Pfeiltasten bedienen; unter dem Graphen stehen drei berechnete Werte.

Interaktiver Graph: Aktivieren Sie JavaScript, um die Parameter zu verändern. Die statische Abbildung und die Formeln darüber sind ohne JavaScript verfügbar.

Zusammenfassung

  • Arcusfunktionen kehren fest gewählte bijektive Einschränkungen um.
  • Der Hauptwert einer Arcusfunktion liefert noch nicht alle Lösungen einer periodischen Gleichung.
  • \(\operatorname{arccot}\) hat hier die Bildmenge \((0,\pi)\).
  • Areafunktionen kehren Hyperbelfunktionen auf den angegebenen Bereichen um.
  • Die Logarithmusdarstellungen sind nur auf den jeweiligen Definitionsbereichen gültig.