5 Komplexe Zahlen
Zahlenebene, Darstellungsformen und Gleichungen
Einordnung des Kapitels
Die Gleichung \(x^2+1=0\) besitzt keine reelle Lösung. Wir erweitern deshalb den Zahlenbereich um eine Zahl \(\mathrm i\) mit \(\mathrm i^2=-1\). Zunächst lernen wir die Schreibweise \(z=x+y\mathrm i\) kennen und prüfen mit den neuen Rechenoperationen, dass die Ausgangsgleichung lösbar wird.
Danach stellen wir komplexe Zahlen als Punkte einer Ebene dar. Ein Punkt lässt sich durch zwei Koordinaten oder durch einen Winkel und den Abstand zum Ursprung beschreiben. Diese Sichtweisen führen zu unterschiedlichen Rechenwegen: Koordinaten helfen beim Addieren, Abstand und Winkel beim Multiplizieren und Potenzieren.
Darauf bauen die Umrechnung zwischen Darstellungen, das Lösen von Wurzelgleichungen und schließlich die Zerlegung von Polynomen auf.
Lernziele
Nach diesem Kapitel können Sie
- Realteil, Imaginärteil und konjugierte Zahl bestimmen,
- Betrag und Hauptargument berechnen und geometrisch deuten,
- zwischen algebraischer, trigonometrischer und exponentieller Darstellung wechseln,
- komplexe Zahlen addieren, multiplizieren, dividieren und potenzieren,
- alle Lösungen von \(z^n=b\) bestimmen und in der Zahlenebene eintragen sowie
- quadratische Gleichungen lösen und Polynome mithilfe ihrer Nullstellen zerlegen.