7 Funktionen

Einordnung des Kapitels

Ein Programm ordnet einer Eingabe eine Ausgabe zu. Mathematisch gesehen entspricht dieser Vorgang einer Funktion, wenn für jede erlaubte Eingabe genau eine festegelte Ausgabe entsteht. Beispielsweise könnte ein Programm einem eingegeben Text seine Länge zuordnen. Dagegen beschreibt die Zuordnung „Datei gehört zu Projekt“ zunächst nur eine Relation: Eine Datei könnte mehreren Projekten zugeordnet sein. Damit wir bei einer Zuordnung also von einer Funktion sprechen können, muss jeder möglichen Eingabe genau eine Ausgabe zugeordnet sein.

Diesen Funktionsbegriff werden wir in diesem Kapitel genauer untersuchen. Wir werden sehen, dass Funktionen nicht nur in der Mathematik, sondern auch in der Informatik eine zentrale Rolle spielen.

Nachdem wir den Funktionsbegriff definiert haben, untersuchen wir grundlegende Eigenschaften von Funktionen, wie Injektivität, Surjektivität und Bijektivität. Wir lernen, wie man Funktionen verketten und umkehren kann. Darüberhinaus betrachten wir Funktionen auch als spezielle Relationen.

In einem Unterkapitel wenden wir den Begriff der Bijektionen an, um die Größe von Mengen zu vergleichen. Inbesondere werden wir sehen, dass es unterschiedliche Arten unendlicher Mengen gibt.

Im hinteren Teil des Kapitels, ab dem Abschnitt über Polynome, beschäftigen wir uns mit reellwertigen Funktionen mit reellen Argumenten und ihren Graphen. Wir betrachten also Funktionen \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) sowie Funktionen \(f:D_f\to\mathbb R\) mit \(D_f\subseteq\mathbb R\), wenn die Vorschrift nur auf einer Teilmenge der reellen Zahlen definiert ist, etwa bei Wurzel- oder Logarithmusfunktionen.

Dabei lernen wir einerseits viele konkrete Funktionstypen kennen, darunter Polynome, Potenz-, Exponential-, Logarithmus- und trigonometrische Funktionen. Andererseits führen wir Eigenschaften wie Monotonie, Periodizität und Symmetrie ein, mit denen sich solche Funktionen genauer beschreiben lassen.

Diese Eigenschaften werden nach und nach dort eingeführt, wo sie sich an den jeweiligen Funktionstypen besonders gut erklären lassen: beispielsweise Monotonie bei den Potenz- und Exponentialfunktionen und Periodizität bei den trigonometrischen Funktionen. Die Definitionen gelten dabei meist für allgemeine reellwertige Funktionen mit reellen Argumenten. Die Eigenschaften lassen sich deshalb auch bei anderen Funktionstypen prüfen, sofern die jeweiligen Voraussetzungen an den Definitionsbereich erfüllt sind. Interaktive Graphen machen sichtbar, wie Parameter die Funktionen und ihre Eigenschaften beeinflussen.

Lernziele

Nach diesem Kapitel können Sie

Definitionsbereich, Wertebereich, Graph, Bild und Urbild unterscheiden,
Injektivität, Surjektivität und Bijektivität prüfen,
Funktionen verketten und geeignete Einschränkungen umkehren,
abzählbare und überabzählbare Mengen anhand von Bijektionen und Diagonalargumenten unterscheiden,
Polynome und gebrochenrationale Funktionen mit ihrem Definitionsbereich untersuchen,
Monotonie, Periodizität und Symmetrie bei reellen Funktionen anhand ihrer Definitionen prüfen,
Potenz-, Exponential-, Logarithmus-, trigonometrische und Hyperbelfunktionen beschreiben sowie
bei Arcus- und Areafunktionen die gewählten Umkehrzweige beachten.