3.1 Potenzen und Logarithmen
Potenzen und Wurzeln
Potenzen werden zunächst für natürliche Exponenten durch wiederholte Multiplikation definiert. Die weiteren Definitionen werden so gewählt, dass die Potenzgesetze erhalten bleiben.
Definition 3.1 (Potenzen und Wurzeln). Für \(a>0\), \(x\in\mathbb R\) und \(m,n\in\mathbb N\) gilt:
- \(a^n:=\underbrace{a\cdot\ldots\cdot a}_{n\text{-mal}}\) und \(a^0=1\),
- \(\sqrt[n]{a}\) ist die nichtnegative Zahl \(b\) mit \(b^n=a\),
- \(a^{\frac{n}{m}}:=(\sqrt[m]{a})^n\) und
- \(a^{-x}:=\frac{1}{a^x}\).
In dieser Definition sind Potenzen mit beliebigen gebrochenrationalen Exponenten erklärt. Für einen irrationalen Exponenten \(x\) wird \(a^x\) über Grenzwerte rationaler Approximationen von \(x\) definiert. Diese Konstruktion wird hier nicht präsentiert, da dazu der Begriff des Grenzwerts nötig ist. Die folgenden Rechenregeln für Potenzen gelten dennoch für beliebige reelle Exponenten.
Die folgenden Regeln reduzieren Rechnungen mit Potenzen auf Addition und Multiplikation der Exponenten.
Satz 3.1 (Potenzgesetze). Für \(a,b>0\) und \(x,y\in\mathbb R\) gilt
\[a^x a^y=a^{x+y},\qquad \frac{a^x}{a^y}=a^{x-y},\]
\[a^x b^x=(ab)^x,\qquad \frac{a^x}{b^x}=\left(\frac ab\right)^x,\]
\[a^{-x}=\frac1{a^x},\qquad (a^x)^y=a^{xy}.\]
Wichtig ist diese Gesetze nicht nur abstrakt zu kennen, sondern diese auch sicher in komplexeren Formeln anwenden zu können.
Typischer Fehler
Potenzen von Produkten können berechnet werden indem man die Potenz auf jeden einzelnen Faktor anwendet. Dies gilt aber nicht bei Summen: \((a+b)^2\ne a^2+b^2\) im Allgemeinen. Beispielsweise ist \((1+1)^2=4\), während \(1^2+1^2=2\) gilt. Um \((a+b)^2\) zu vereinfachen, muss man beispielsweise ausmultiplizieren oder eine Binomische Formel nutzen.
Um zu bestimmen, wie viel Speicher ein Bild benötigt, nutzen wir die Potenzgesetze:
Beispiel: Datenmenge eines RGB-Bildes
Ein unkomprimiertes Bild besitzt \(1920\cdot1080\) Pixel. Pro Pixel werden drei Farbkanäle mit je \(2^8\) möglichen Werten gespeichert. Wie viele Bit und wie viele MiB (Mebibyte) benötigt das Bild?
Beachte: \(1\) Byte = \(8\) Bit und \(1\) MiB = \(2^{20}\) Byte
Logarithmen
Wenn nicht der Wert einer Potenz, sondern ihr Exponent gesucht ist, führt dies zum Logarithmus.
Definition 3.2 (Logarithmus). Für \(b>0\), \(b\ne1\) und \(a>0\) ist
\[x=\log_b(a)\quad\Longleftrightarrow\quad b^x=a.\]
Man sagt: „\(x\) ist der Logarithmus von \(a\) zur Basis \(b\).“
Ist die Basis \(b\) gleich der Eulerschen Zahl \(\mathrm e\), so schreibt man \(\ln(a):=\log_{\mathrm e}(a)\).
Die Eulersche Zahl wird durch den Grenzwert
\[\mathrm e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n \]
definiert. Es gilt \(\mathrm e \approx 2{,}718282\) und \(\mathrm e \in \mathbb R\setminus\mathbb Q\).
Die Logarithmengesetze sind direkte Übersetzungen der Potenzgesetze in die Sprache der Logarithmen. Sie wandeln Produkte in Summen und Potenzen in Faktoren um.
Satz 3.2 (Logarithmengesetze). Für \(b,c>0\) mit \(b,c\ne1\) und \(x,y>0\) gilt
\[ \begin{aligned} \log_b(xy)&=\log_b(x)+\log_b(y),\\[2ex] \log_b\left(\frac{x}{y}\right)&=\log_b(x)-\log_b(y),\\[2ex] \log_b(x^a)&=a\log_b(x),\\[2ex] \log_c(x)&=\frac{\log_b(x)}{\log_b(c)}. \end{aligned} \]
Aus den Potenz- und Logarithmengesetzen folgt: \[b^{\log_b(x)}=x \qquad \text{und} \qquad \log_b(b^x)=x.\]
Ein Beispiel zur Anwendung der Rechenregeln:
Beispiel: Wie viele Adressbits werden benötigt?
Ein System soll mindestens \(1\,000\,000\) verschiedene Speicheradressen unterscheiden. Gesucht ist die kleinste ganze Bitzahl \(k\) mit \(2^k\ge10^6\).
Zusammenfassung
- Potenz- und Logarithmengesetze sind die zentralen Rechenregeln beim Umgang mit Potenzen und Logarithmen.
- Eine Wurzel ist eine Potenz mit gebrochenem Exponenten.
- \(\log_b(a)\) beantwortet die Frage, zu welcher Potenz \(b\) erhoben werden muss, um \(a\) zu erhalten.