5.4 Rechnen mit komplexen Zahlen
Die passende Darstellung wählen
Wir behandeln die Rechenarten nacheinander. Je nach Aufgabe rechnet man mit Real- und Imaginärteil oder mit Betrag und Winkel.
| Rechenart | Geeignete Darstellung | Vorgehen |
|---|---|---|
| Addition | algebraisch | Real- und Imaginärteile addieren |
| Subtraktion | algebraisch | Real- und Imaginärteile subtrahieren |
| Multiplikation | algebraisch oder polar | ausmultiplizieren oder Beträge multiplizieren und Winkel addieren |
| Division | algebraisch oder polar | konjugiert erweitern oder Beträge dividieren und Winkel subtrahieren |
| Potenzieren | meist polar | Betrag potenzieren, Winkel mit dem Exponenten multiplizieren |
| Wurzeln | polar | Wurzel des Betrags nehmen, alle passenden Winkel bestimmen |
Addition: Komponenten addieren
In algebraischer Form sind Real- und Imaginärteil unmittelbar zugänglich; wir addieren jeweils die gleichartigen Bestandteile.
Bemerkung: Addition. Für \(z_1=x_1+y_1\mathrm i\) und \(z_2=x_2+y_2\mathrm i\) gilt
\[ z_1+z_2=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)\mathrm i. \]
Geometrisch werden die zugehörigen Pfeile aneinandergehängt. Liegen die Zahlen in Polarform vor, rechnen wir zunächst mit \(x_j=r_j\cos\varphi_j\) und \(y_j=r_j\sin\varphi_j\) in die algebraische Form um.
Subtraktion: Die Gegenzahl addieren
Auch beim Subtrahieren hilft die algebraische Form: Das Minuszeichen vor der zweiten Zahl betrifft beide Bestandteile.
Bemerkung: Subtraktion. Für \(z_1=x_1+y_1\mathrm i\) und \(z_2=x_2+y_2\mathrm i\) ist \(-z_2=-x_2-y_2\mathrm i\). Damit gilt
\[ \begin{aligned} z_1-z_2&=z_1+(-z_2)\\ &=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)\mathrm i. \end{aligned} \]
Wir subtrahieren also Realteil von Realteil und Imaginärteil von Imaginärteil. Geometrisch addieren wir den entgegengesetzten Pfeil zu \(z_2\).
Ein negatives Vorzeichen vor einer Klammer verändert Real- und Imaginärteil.
Beispiel: Summe und Differenz
Berechnen Sie \(u+v\) und \(u-v\) für \(u=2+\mathrm i\) und \(v=-1+3\mathrm i\).
Multiplikation: Algebraisch ausmultiplizieren
In algebraischer Form multiplizieren wir die Klammern aus, ersetzen \(\mathrm i^2\) durch \(-1\) und fassen Real- und Imaginärteil zusammen.
Bemerkung: Algebraische Multiplikation. Für \(z_1=x_1+y_1\mathrm i\) und \(z_2=x_2+y_2\mathrm i\) gilt
\[ \begin{aligned} z_1z_2&=(x_1+y_1\mathrm i)(x_2+y_2\mathrm i)\\ &=x_1x_2+x_1y_2\mathrm i+y_1x_2\mathrm i+y_1y_2\mathrm i^2\\ &=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+y_1x_2)\mathrm i. \end{aligned} \]
Das Ergebnis liegt wieder in algebraischer Form vor.
Der Term mit \(\mathrm i^2\) trägt zum Realteil des Produkts bei.
Beispiel: Ein Produkt zusammenfassen
Berechnen Sie \((1+2\mathrm i)(3-\mathrm i)\).
Multiplikation: Beträge und Winkel
Sind Betrag und Winkel bereits bekannt, ist die Polarform besonders günstig. Die trigonometrische und die exponentielle Darstellung liefern dieselbe Regel.
Bemerkung: Multiplikation in Polarform. Für \(z_1=r_1\mathrm e^{\mathrm i\varphi_1}\) und \(z_2=r_2\mathrm e^{\mathrm i\varphi_2}\) mit \(r_1,r_2>0\) gilt
\[ \begin{aligned} z_1z_2&=r_1r_2\mathrm e^{\mathrm i(\varphi_1+\varphi_2)}\\ &=r_1r_2\bigl(\cos(\varphi_1+\varphi_2)+\sin(\varphi_1+\varphi_2)\,\mathrm i\bigr). \end{aligned} \]
Beträge multiplizieren, Winkel addieren. Die Multiplikation mit \(z_2\) multipliziert den Betrag mit \(r_2\) und dreht um den Winkel \(\varphi_2\).
Für das Hauptargument wird der Winkel gegebenenfalls um ein Vielfaches von \(2\pi\) in \((-\pi,\pi]\) verschoben. Ist einer der Faktoren null, ist das Produkt null.
Division: Einen reellen Nenner erzeugen
Division durch \(w\neq0\) bedeutet Multiplikation mit seinem Kehrwert. Wir erweitern mit der konjugierten Zahl des Nenners und nutzen \(w\overline w=|w|^2\).
Bemerkung: Kehrwert und Division. Für \(w\neq0\) gilt
\[ \frac1w=\frac1w\cdot \frac{\overline w}{\overline w}=\frac{\overline w}{|w|^2},\qquad \frac zw=\frac zw\cdot \frac{\overline w}{\overline w}=\frac{z\overline w}{|w|^2}. \]
In algebraischer Form, für \(w=u+v\mathrm i\neq0\), ergibt sich
\[ \frac{x+y\mathrm i}{u+v\mathrm i} =\frac{x+y\mathrm i}{u+v\mathrm i} \cdot \frac{u-v\mathrm i}{u-v\mathrm i} =\frac{xu+yv}{u^2+v^2}+\frac{yu-xv}{u^2+v^2}\mathrm i. \]
Mit dem konjugierten Nenner erweitern, ausmultiplizieren und Real- und Imaginärteil zusammenfassen. Division durch null ist nicht definiert.
Ein Quotient wird durch Erweitern mit dem konjugiert komplexen des Nenners vereinfacht.
Beispiel: Einen Quotienten umformen
Schreiben Sie \(\frac{2+\mathrm i}{1-\mathrm i}\) in algebraischer Schreibweise.
Division: Beträge und Winkel
Die Division ist besonders einfach, wenn beide Zahlen schon trigonometrisch oder exponentiell vorliegen.
Bemerkung: Division in Polarform. Für \(z_1=r_1\mathrm e^{\mathrm i\varphi_1}\) und \(z_2=r_2\mathrm e^{\mathrm i\varphi_2}\) mit \(r_1,r_2>0\) gilt
\[ \begin{aligned} \frac{z_1}{z_2}&=\frac{r_1}{r_2}\mathrm e^{\mathrm i(\varphi_1-\varphi_2)}\\ &=\frac{r_1}{r_2}\bigl(\cos(\varphi_1-\varphi_2)+\sin(\varphi_1-\varphi_2)\,\mathrm i\bigr). \end{aligned} \]
Beträge dividieren, Winkel subtrahieren. Für das Hauptargument wird der Winkel gegebenenfalls in \((-\pi,\pi]\) verschoben.
Für \(z_1=0\) und \(z_2\neq0\) ist der Quotient \(0\); dann wird kein Winkel benötigt. Der Nenner darf nie null sein.
Potenzieren: Polarform verwenden
Kleine Potenzen lassen sich algebraisch ausmultiplizieren. Für hohe Potenzen ist die Polarform übersichtlicher: Wiederholte Multiplikation potenziert den Betrag und vervielfacht den Winkel.
Für eine ganze Zahl \(n\geq1\) bedeutet \(z^n\) das Produkt aus \(n\) gleichen Faktoren \(z\). Für \(z\neq0\) setzen wir außerdem \(z^0=1\) und \(z^{-n}=\frac1{z^n}\).
Die Regel für Produkte in Polarform führt unmittelbar zur Potenzformel.
Satz 5.3 (Formel von de Moivre). Für \(z=r\mathrm e^{\mathrm i\varphi}\neq0\) und \(n\in\mathbb Z\) gilt
\[ z^n=r^n\mathrm e^{\mathrm i n\varphi} =r^n\bigl(\cos(n\varphi)+\sin(n\varphi)\,\mathrm i\bigr). \]
Die Produkt- und Quotientenregeln liefern den Satz auch für negative Exponenten.
Beweis. Für \(n=0\) und \(n=1\) ist die Formel sofort klar. Für \(n\geq 2\) folgt die Formel mit vollständiger Induktion aus der Formel für die Multiplikation Für \(n=-m<0\) wenden wir die bekannten Formeln auf den Kehrwert \(z^{-1}=r^{-1}\mathrm e^{-\mathrm i\varphi}\) und den positiven Exponenten \(m\) an. \(\square\)
Für \(z=0\) bleiben positive ganzzahlige Potenzen definiert: \(0^n=0\) für \(n\geq1\).
Wurzeln: Betrag und Winkel aufteilen
Wurzelziehen bedeutet hier, alle Lösungen von \(z^n=b\) zu bestimmen. Für \(b=0\) ist \(z=0\) die einzige Lösung. Für \(b\neq0\) verwenden wir die Polarform:
Satz 5.4 (Lösungen der Wurzelgleichung). Seien \(b\in\mathbb C\setminus\{0\}\), \(n\in\mathbb N\) mit \(n\geq1\) und \(\beta=\operatorname{Arg}(b)\). Dann besitzt \(z^n=b\) genau \(n\) verschiedene komplexe Lösungen:
\[ z_k=\sqrt[n]{|b|}\,\mathrm e^{\mathrm i\frac{\beta+2k\pi}{n}}, \qquad k=0,1,\ldots,n-1. \tag{5.1}\]
\(\sqrt[n]{|b|}\) bezeichnet die positive reelle Wurzel. Die Lösungen von \(z^n=1\) heißen \(n\)-te Einheitswurzeln.
Die Lösungen liegen auf dem Kreis mit Radius \(\sqrt[n]{|b|}\) und haben den Winkelabstand \(\frac{2\pi}{n}\).
Beweis. Sei \(z=r\mathrm e^{\mathrm i\varphi}\). Es gilt \(z^n=b\) genau dann, wenn \(r^n=|b|\) und \(n\varphi=\beta+2k\pi\) für ein \(k\in\mathbb Z\) gelten. Das liefert Gleichung 5.1. Die Indizes \(0,\ldots,n-1\) ergeben verschiedene Punkte; \(k+n\) wiederholt jeweils den Punkt zu \(k\). \(\square\)
Bei einer positiven rechten Seite beginnt die gleichmäßige Verteilung der Lösungen auf der positiven reellen Achse.
Beispiel: Die Gleichung \(z^4=81\)
Bestimmen Sie alle Lösungen.
Rechenarten in der Zahlenebene erkunden
Bewegen Sie \(z_1\) und \(z_2\) und vergleichen Sie die vier Rechenarten. Wie verändern sich bei Multiplikation und Division Betrag und Winkel?
GeoGebra-Material direkt öffnen · Chris Demouche und Dr Adrian Jannetta
Zusammenfassung
- Addition: Real- und Imaginärteile addieren.
- Subtraktion: die Gegenzahl addieren, also beide Bestandteile subtrahieren.
- Multiplikation: algebraisch ausmultiplizieren und \(\mathrm i^2=-1\) nutzen; in Polarform Beträge multiplizieren und Winkel addieren.
- Division: konjugiert erweitern; in Polarform Beträge dividieren und Winkel subtrahieren. Der Nenner darf nicht null sein.
- Potenzieren: in Polarform den Betrag potenzieren und den Winkel mit dem Exponenten multiplizieren.
- Wurzeln: Für \(b\neq0\) liegen die \(n\) Lösungen von \(z^n=b\) auf dem Kreis mit Radius \(\sqrt[n]{|b|}\) im Winkelabstand \(\frac{2\pi}{n}\). Volle Umdrehungen vor dem Teilen des Winkels berücksichtigen; für \(b=0\) ist nur \(z=0\) möglich.