Mathematik 1

Digitale Vorlesungsunterlagen mit Lernwebsite, Folien und Handout

Mathematik ist eine Grundlage der Informatik: Sie hilft, Sachverhalte präzise zu formulieren, Algorithmen zu verstehen, Daten zu modellieren und Aussagen über Programme verlässlich zu begründen. In dieser Lehrveranstaltung geht es daher nicht nur um Rechenverfahren, sondern auch um mathematische Sprache, strukturiertes Denken und nachvollziehbare Argumentationen.

Die Vorlesungsunterlagen

Für die Veranstaltung stehen drei aufeinander abgestimmte Materialien zur Verfügung:

• Die Lernwebsite ist das ausführliche Nachschlagewerk. Sie enthält Definitionen, Sätze, zusätzliche Erklärungen und vollständig gelöste Referenzbeispiele.
• Die Vorlesungsfolien strukturieren die gemeinsame Arbeit in der Veranstaltung. Beispiele und Beweise werden dort schrittweise entwickelt.
• Das PDF-Handout folgt dem Weg der Folien, lässt aber Lösungen aus und bietet an den passenden Stellen Raum für eigene Rechnungen und Notizen.

Ergänzend können in späteren Kapiteln ausführbare Jupyter-Notebooks hinzukommen. Sie lassen sich direkt im HTW-JupyterHub öffnen und eignen sich zum Experimentieren mit mathematischen Verfahren.

So nutzen Sie die Materialien

Die freigegebenen PDF-Handouts finden Sie im Downloadbereich.

Bringen Sie das Handout nach Möglichkeit zur Vorlesung mit und ergänzen Sie dort die gemeinsam entwickelten Lösungen. Nutzen Sie die Website anschließend, um Begriffe nachzulesen, Lücken zu schließen und weitere Beispiele selbständig nachzuvollziehen. Da die Website und die Vorlesung teilweise bewusst unterschiedliche Beispiele verwenden, lohnt sich die Arbeit mit beiden Darstellungen.

Starten Sie mit Kapitel 1: Logik. Dort lernen Sie, mathematische Aussagen präzise zu lesen, zu verknüpfen und zu beweisen.

HinweisEin sinnvoller Arbeitsrhythmus

1. Vor der Vorlesung: Lernziele und Begriffe auf der Website überfliegen.
2. In der Vorlesung: Aufgaben im Handout bearbeiten und eigene Notizen ergänzen.
3. Nach der Vorlesung: Lösungen und zusätzliche Beispiele auf der Website nachvollziehen und offene Fragen markieren.

Gesamtübersicht

Die folgenden drei Teile zeigen die vollständige geplante Kursstruktur. Bereits ausgearbeitete und noch in Vorbereitung befindliche Unterkapitel sind direkt verlinkt.

Teil I: Mathematische Grundlagen

1 Logik

• 1.1 Aussagen
• 1.2 Verknüpfungen und Beweise
• 1.3 Quantoren
• 1.4 Vollständige Induktion

2 Mengen

• 2.1 Mengen und Zahlenmengen
• 2.2 Teilmengen und Mengengleichheit
• 2.3 Mengenoperationen
• 2.4 Mengenfamilien und Produkte

3 Reelle Zahlen

• 3.1 Potenzen und Logarithmen
• 3.2 Betrag und Ordnung
• 3.3 Ungleichungen
• 3.4 Schranken und Grenzen
• 3.5 Fakultät und Binomialkoeffizienten
• 3.6 Summen und Produkte

4 Zahlensysteme und Rechnerarithmetik

• 4.1 Stellenwertsysteme
• 4.2 Umrechnen zwischen Zahlensystemen
• 4.3 Binärdarstellung natürlicher Zahlen
• 4.4 Zweierkomplement
• 4.5 Gleitkommadarstellung

5 Komplexe Zahlen

• 5.1 Definition und komplexe Zahlenebene
• 5.2 Betrag, Argument und komplexe Konjugation
• 5.3 Algebraische, trigonometrische und exponentielle Darstellung
• 5.4 Rechnen mit komplexen Zahlen
• 5.5 Eulersche Formel und komplexe Wurzeln
• 5.6 Anwendungen auf Gleichungen und Polynomzerlegungen

Teil II: Relationen, Funktionen und Algebra

6 Relationen

• 6.1 Grundbegriffe und Darstellungsformen
• 6.2 Eigenschaften binärer Relationen
• 6.3 Projektionen, inverse Relationen und Komposition
• 6.4 Reflexive, symmetrische und transitive Hüllen
• 6.5 Äquivalenzrelationen und Äquivalenzklassen
• 6.6 Ordnungsrelationen und Hasse-Diagramme

7 Funktionen

• 7.1 Funktionsbegriff, Graph, Bild und Urbild
• 7.2 Injektivität, Surjektivität und Bijektivität
• 7.3 Umkehrfunktionen und Verkettungen
• 7.4 Mächtigkeit und Abzählbarkeit
• 7.5 Polynome
• 7.6 Gebrochenrationale Funktionen
• 7.7 Potenz-, Exponential- und Logarithmusfunktionen
• 7.8 Trigonometrische Funktionen
• 7.9 Hyperbelfunktionen
• 7.10 Arcus- und Areafunktionen

8 Algebraische Strukturen und Zahlentheorie

• 8.1 Verknüpfungen und Gruppen
• 8.2 Ringe und Körper
• 8.3 Primzahlen und Primfaktorzerlegung
• 8.4 Kongruenzen, Restklassen und modulare Arithmetik
• 8.5 Größter gemeinsamer Teiler und euklidischer Algorithmus
• 8.6 Modularer Kehrwert, Satz von Euler und RSA
• 8.7 Polynomringe und irreduzible Polynome
• 8.8 Faktorringe, Galoiskörper und AES

Teil III: Lineare Algebra

9 Vektorräume

• 9.1 Vektorräume und Beispiele
• 9.2 Untervektorräume, lineare Hüllen, Schnitt und Summe
• 9.3 Lineare Unabhängigkeit, Erzeugendensysteme und Basen
• 9.4 Koordinaten und Dimension
• 9.5 Normen, Skalarprodukte und Orthogonalität
• 9.6 Lineare Abbildungen
• 9.7 Vektoren im \(\mathbb R^n\)
• 9.8 Länge, Abstand, Winkel und Projektion
• 9.9 Geraden, Ebenen und Hyperebenen
• 9.10 Kreuzprodukt, Spatprodukt, Flächen und Volumen

10 Matrizen

• 10.1 Matrizen und Rechenoperationen
• 10.2 Transponierte und besondere Matrizen
• 10.3 Matrizen als lineare Abbildungen
• 10.4 Inverse Matrix und Rang
• 10.5 Determinanten
• 10.6 Lineare Gleichungssysteme und Lösungsfälle
• 10.7 Gauß-Verfahren
• 10.8 Gauß-Jordan-Verfahren
• 10.9 Eigenwerte, Eigenvektoren und charakteristisches Polynom
• 10.10 Anwendungen: stationäre Verteilungen und PageRank
• 10.11 Symmetrische Matrizen, quadratische Formen und Hauptachsen
• 10.12 Vertiefung: Courant–Fisher und Hauptkomponentenanalyse
• Technik-Demo: Ableitungen