5.1 Definition und komplexe Zahlenebene

Ein neuer Zahlenbereich

Wir ergänzen die reellen Zahlen um eine imaginäre Einheit und beschreiben jede neue Zahl durch zwei reelle Bestandteile.

Definition 5.1 (Komplexe Zahl). Die komplexen Zahlen sind die Zahlen der Form

\[ \mathbb C=\{x+y\mathrm i\mid x,y\in\mathbb R\}. \]

Dabei heißt \(\mathrm i\) mit \(\mathrm i^2=-1\) imaginäre Einheit. Für \(z=x+y\mathrm i\) heißen

\[ \operatorname{Re}(z)=x\qquad\text{und}\qquad\operatorname{Im}(z)=y \]

Realteil und Imaginärteil von \(z\). Die Schreibweise \(x+y\mathrm i\) heißt algebraische Darstellung.

Die beiden reellen Bestandteile bestimmen die Zahl eindeutig und zeigen, wie die reellen Zahlen in den neuen Zahlenbereich eingebettet sind.

Bemerkung: Gleichheit und reelle Zahlen.

• \(x_1+y_1\mathrm i=x_2+y_2\mathrm i\) gilt genau dann, wenn \(x_1=x_2\) und \(y_1=y_2\).
• Wir identifizieren \(x\in\mathbb R\) mit \(x+0\mathrm i\); damit gilt \(\mathbb R\subseteq\mathbb C\).
• Eine Zahl ist reell genau dann, wenn ihr Imaginärteil null ist.
• Der Imaginärteil ist eine reelle Zahl: Für \(z=2-3\mathrm i\) gilt \(\operatorname{Im}(z)=-3\), nicht \(-3\mathrm i\).

Die Zuordnung von Realteil und Imaginärteil am Beispiel:

Beispiel: Bestandteile ablesen

\(z\)	\(\operatorname{Re}(z)\)	\(\operatorname{Im}(z)\)
\(4+2\mathrm i\)	\(4\)	\(2\)
\(-5\mathrm i\)	\(0\)	\(-5\)
\(7\)	\(7\)	\(0\)

Die Rechenoperationen sollen die reelle Arithmetik fortsetzen. Addition und Multiplikation sind wie folgt definiert.

Definition 5.2 (Addition und Multiplikation). Für \(z_1=x_1+y_1\mathrm i\) und \(z_2=x_2+y_2\mathrm i\) setzen wir

\[ \begin{aligned} z_1+z_2&=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)\mathrm i,\\ z_1z_2&=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+y_1x_2)\mathrm i. \end{aligned} \]

Die Formel zur Multiplikation folgt mit dem formalen Ausmultiplizieren der beiden Faktoren und dem Ersetzen von \(\mathrm i^2\) durch \(-1\).

Formal kann man \(\mathbb C\) auch als die Menge der Paare \((x,y)\in\mathbb R^2\) mit diesen Operationen konstruieren. Dann stehen \(1\) für \((1,0)\) und \(\mathrm i\) für \((0,1)\); die Multiplikation liefert dann \((0,1)\cdot(0,1)=(-1,0)\). Die Schreibweise \(x+y\mathrm i\) macht die beiden Bestandteile sichtbar und lässt sich wie ein algebraischer Ausdruck verrechnen.

Gewohnte Rechenregeln weiterverwenden

Die definierten Operationen erlauben dieselben Umformungen wie beim Rechnen mit reellen Zahlen.

Rechengesetze

Bemerkung: Rechengesetze. Für alle \(u,v,w\in\mathbb C\) gelten:

Kommutativgesetze — die Reihenfolge der Summanden bzw. Faktoren darf vertauscht werden:

\[ u+v=v+u,\qquad uv=vu. \]

Assoziativgesetze — bei gleicher Rechenart darf umgeklammert werden:

\[ (u+v)+w=u+(v+w),\qquad (uv)w=u(vw). \]

Distributivgesetze — Multiplikation verteilt sich über Addition:

\[ u(v+w)=uv+uw,\qquad (u+v)w=uw+vw. \]

Subtraktion

Subtrahieren lässt sich auf die bereits definierte Addition zurückführen.

Bemerkung: Gegenzahl und Subtraktion. Zu \(z=x+y\mathrm i\) gehört die Gegenzahl

\[ -z=-x-y\mathrm i,\qquad z+(-z)=0. \]

Wir definieren die Subtraktion, indem wir die Gegenzahl addieren:

\[ u-v:=u+(-v). \]

In algebraischer Form bedeutet dies

\[ (x_1+y_1\mathrm i)-(x_2+y_2\mathrm i) =(x_1-x_2)+(y_1-y_2)\mathrm i. \]

Die Division wird später erklärt.

Binomischen Formeln

Durch Ausmultiplizieren und Zusammenfassen erhält man dieselben binomischen Formeln wie bei reellen Zahlen.

Bemerkung: Binomische Formeln. Für alle \(u,v\in\mathbb C\) gilt

\[ \begin{aligned} (u+v)^2&=u^2+2uv+v^2,\\ (u-v)^2&=u^2-2uv+v^2,\\ (u+v)(u-v)&=u^2-v^2. \end{aligned} \]

Beim Rechnen mit der imaginären Einheit ist dabei stets \(\mathrm i^2=-1\) zu berücksichtigen.

Die Gaußsche Zahlenebene

Darstellung als Punkt

Statt auf einer Zahlengeraden stellen wir komplexe Zahlen in einer Ebene, der Gaußschen Zahlenebene, dar.

Bemerkung: Zahl, Punkt und Pfeil. Die Zahl \(z=x+y\mathrm i\) entspricht dem Punkt \((x,y)\) und dem Pfeil vom Ursprung zu diesem Punkt. Die waagerechte Achse ist die reelle Achse, die senkrechte die imaginäre Achse.

Die vier Quadranten

Die Vorzeichen der Koordinaten beschreiben, in welchem Teil der Ebene ein Punkt liegt.

Bemerkung: Quadranten. Die beiden Achsen teilen die Ebene in vier Bereiche. Wir nummerieren sie gegen den Uhrzeigersinn, beginnend oben rechts.

Quadrant	Lage	Realteil \(x\)	Imaginärteil \(y\)
I	oben rechts	\(>0\)	\(>0\)
II	oben links	\(<0\)	\(>0\)
III	unten links	\(<0\)	\(<0\)
IV	unten rechts	\(>0\)	\(<0\)

Punkte auf den Achsen gehören zu keinem Quadranten.

Zusammenfassung

• \(\mathrm i^2=-1\) erweitert die reelle Arithmetik.
• Real- und Imaginärteil sind reelle Zahlen und bestimmen \(z\) eindeutig.
• \(\mathbb R\) liegt als reelle Achse in der Gaußschen Zahlenebene.
• Addition erfolgt komponentenweise; bei der Multiplikation gilt \(\mathrm i^2=-1\).