4 Zahlensysteme und Rechnerarithmetik

Stellenwertsysteme, Ganzzahlen und Gleitkommazahlen

Was ist eigentlich eine Zahl? Zahlen sind mathematische Objekte, mit denen wir beispielsweise Anzahlen, Reihenfolgen oder Größen beschreiben. Wenn wir an eine Zahl denken, haben wir meist eine Folge der Ziffern 0 bis 9 vor Augen, gegebenenfalls mit einem Komma. Dabei hängt die Bedeutung einer Ziffer von ihrer Position ab: In der Darstellung \(23{,}2\) steht die erste \(2\) für zwei Zehner, die zweite für zwei Zehntel. Diese vertraute Schreibweise gehört zum Dezimalsystem. Welche Ziffern zur Verfügung stehen und welchen Wert die einzelnen Stellen haben, legt das verwendete Zahlensystem fest. Dieselbe Zahl kann deshalb auf unterschiedliche Weise dargestellt werden.

Auch im Computer gibt es verschiedene Zahlendarstellungen: Natürliche Zahlen lassen sich als vorzeichenlose Binärzahlen speichern, für ganze Zahlen wird häufig das Zweierkomplement verwendet, und für Zahlen mit Nachkommastellen kommen beispielsweise Gleitkommaformate zum Einsatz. Zur Speicherung stehen jeweils nur endlich viele Bits zur Verfügung. Das begrenzt den darstellbaren Zahlenbereich und je nach Format auch die Genauigkeit. Wir werden untersuchen, wie daraus Überläufe und Rundungsfehler entstehen und weshalb Computerrechnungen manchmal andere Ergebnisse liefern als die Rechnung mit reellen Zahlen.

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