2.1 Mengen und Zahlenmengen
Mengen beschreiben
Wir beginnen mit dem grundlegenden Begriff und zwei gleichwertigen Arten, eine Menge anzugeben.
Definition 2.1 (Menge und Element). Eine Menge fasst bestimmte, voneinander unterscheidbare Objekte zu einem Ganzen zusammen. Diese Objekte heißen Elemente der Menge.
Für ein Objekt \(x\) und eine Menge \(M\) schreiben wir
\[x\in M \qquad \text{(}x\text{ ist Element von }M\text{)}\] falls \(x\) in der Menge \(M\) liegt, beziehungsweise
\[x\notin M \qquad \text{(}x\text{ ist kein Element von }M\text{)}\] falls \(x\) nicht in der Menge M liegt.
Eine Menge kann aufzählend oder beschreibend angegeben werden:
\[M=\{m_1,m_2,\ldots\} \qquad\text{oder}\qquad M=\{x\mid a(x)\}.\]
Im zweiten Fall enthält \(M\) genau diejenigen Objekte \(x\), für die die Aussagefunktion \(a(x)\) wahr ist.
Definition 2.2 (Mächtigkeit). Besitzt eine Menge \(M\) endlich viele Elemente, so bezeichnet \(|M|\) ihre Mächtigkeit, also die Anzahl ihrer Elemente. Die Menge ohne Elemente heißt leere Menge und wird mit \(\emptyset\) bezeichnet; insbesondere ist \(|\emptyset|=0\).
Die Reihenfolge und mehrfache Nennung von Elementen spielen keine Rolle. Daher beschreiben \(\{1,2,3\}\), \(\{3,2,1\}\) und \(\{1,1,2,3,3\}\) dieselbe Menge.
Beispiel: Zwei Darstellungsformen
Die Primzahlen unter \(12\) lassen sich aufzählend als
\[P=\{2,3,5,7,11\}\]
und beschreibend als
\[P=\{n\in\mathbb N\mid n<12\text{ und }n\text{ ist prim}\}\]
angeben. Es gilt \(|P|=5\).
Typischer Fehler: Element oder Menge?
\(3\in P\) ist eine Elementbeziehung (man sagt “\(3\) liegt in der Menge \(P\)”). Dagegen ist \(\{3\}\subseteq P\) eine Teilmengenbeziehung (man sagt “die Menge \({3}\) ist eine Teilmenge von \(P\)”). Das Objekt \(3\) und die einelementige Menge \(\{3\}\) sind nicht dasselbe.
Grundmengen
Nicht jede sprachlich formulierbare Zusammenfassung darf ohne Weiteres als Menge behandelt werden. Das klassische Russell-Paradoxon zeigt die Gefahr.
Sei \(X\) die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten:
\[X=\{A\mid A\text{ ist eine Menge und }A\notin A\}.\]
Wir fragen uns: Gilt \(X \in X\) ?
- Aus \(X\in X\) folgt nach der Definition \(X\notin X\).
- Aus \(X\notin X\) folgt nach der Definition \(X\in X\).
Beide fälle führen zum Widerspruch!
Die moderne Mengenlehre schränkt deshalb ein, wie Mengen gebildet werden dürfen. In diesem Kurs arbeiten wir jeweils innerhalb einer passenden Grundmenge und bilden daraus Teilmengen. Dann kann ein solches Paradoxon nicht eintreten.
Wichtige Zahlenmengen
Eine besonders wichtige Rolle werden Zahlenmengen (man sagt auch Zahlenbereiche) spielen, also die Zusammenfassung bestimmter Typen von Zahlen.
Die wichtigsten Zahlenbereiche für diesen Kurs werden hier aufgeführt.
| Symbol | Bedeutung | Beispiele |
|---|---|---|
| \(\mathbb N\) | natürliche Zahlen; hier \(\{1,2,3,\ldots\}\) | \(1,7,42\) |
| \(\mathbb N_0\) | \(\mathbb N\cup\{0\}\) | \(0,5,19\) |
| \(\mathbb Z\) | ganze Zahlen | \(-3,0,8\) |
| \(\mathbb Q\) | rationale Zahlen \(\frac mn\), \(m,n\in\mathbb Z\), \(n\ne0\) | \(-\frac25,7\) |
| \(\mathbb R\) | reelle Zahlen | \(\sqrt2,\pi,-4\) |
| \(\mathbb C\) | komplexe Zahlen \(x+\mathrm i y\), \(x,y\in\mathbb R\) | \(2-3\mathrm i\) |
Es gilt die Inklusionskette
\[\mathbb N\subseteq\mathbb N_0\subseteq\mathbb Z \subseteq\mathbb Q\subseteq\mathbb R\subseteq\mathbb C.\]
Die Festlegung, ob \(0\) zu \(\mathbb N\) gehört, ist nicht überall gleich. Wir verwenden deshalb \(\mathbb N_0\), sobald die Null ausdrücklich eingeschlossen werden soll.
Intervalle lesen
Teilmengen der reellen Zahlen werden häufig in Intervallschreibweise angegeben. Eine runde Klammer schließt den Randpunkt aus, eine eckige Klammer schließt ihn ein.
Definition 2.3 (Intervalle). Für \(a,b\in\mathbb R\) mit \(a<b\) gilt
\[ \begin{aligned} \lbrack a,b\rbrack&=\{x\in\mathbb R\mid a\le x\le b\},\\ (a,b)&=\{x\in\mathbb R\mid a<x<b\},\\ \lbrack a,b)&=\{x\in\mathbb R\mid a\le x<b\},\\ (a,b\rbrack&=\{x\in\mathbb R\mid a<x\le b\}. \end{aligned} \]
Unbeschränkte Intervalle schreibt man beispielsweise als
\[(-\infty,a)=\{x\in\mathbb R\mid x<a\}, \qquad [a,\infty)=\{x\in\mathbb R\mid x\ge a\}.\]
\(\infty\) und \(-\infty\) sind keine reellen Zahlen und können daher niemals als Randpunkte enthalten sein. An einer unendlichen Grenze steht immer eine runde Klammer.
Beispiel: Ungleichung als Intervall
Gesucht ist die Menge aller \(x\in\mathbb R\) mit \(-2\le 3x+1<7\).
Eine Aufzählung einzelner ganzer Zahlen muss von einem reellen Intervall unterschieden werden.
Achtung
Mit den Intervallschreibweisen sind immer alle reellen Zahlen zwischen den Intervallgrenzen gemeint. Will man bespielsweise
\[ \{4,5,6,7,8,9\} \] ausdrücken, so geht das nicht mit \([4,9]\). Was aber gilt ist:
\[ \{4,5,6,7,8,9\} = [4,9] \cap \mathbb Z\]
Zusammenfassung
- Mengen können aufzählend oder durch eine charakterisierende Eigenschaft beschrieben werden.
- Reihenfolge und Wiederholungen ändern eine Menge nicht; \(|M|\) zählt bei endlichen Mengen die verschiedenen Elemente.
- Die Zahlenmengen bilden eine Inklusionskette von \(\mathbb N\) bis \(\mathbb C\).
- Bei Intervallen zeigen die Klammern, ob endliche Randpunkte dazugehören.