3.3 Ungleichungen
Umformungsregeln
Beim Lösen einer Ungleichung suchen wir nicht einen einzelnen Wert, sondern alle Werte, welche die Bedingung erfüllen. Äquivalenzumformungen müssen daher die gesamte Lösungsmenge bewahren. Die folgenden Regeln zeigen, wie aus Ungleichungen neue Ungleichungen abgeleitet werden bzw. wie Ungleichungen äquivalent ineinander umgeformt werden.
Satz 3.4 (Regeln für Ungleichungen). Für \(a,b,c\in\mathbb R\) gilt:
- Aus \(a<b\) und \(b<c\) folgt \(a<c\).
- \(a<b\quad\Longleftrightarrow\quad a+c<b+c\).
- Für \(c>0\) gilt \(\quad a<b\quad \Longleftrightarrow\quad ac<bc\).
- Für \(c<0\) gilt \(\quad a<b\quad \Longleftrightarrow\quad ac>bc\).
- Für \(a,b>0\) und \(n\in\mathbb N\) gilt \(\quad a<b\quad \Longleftrightarrow\quad a^n<b^n\).
Alle Aussagen gelten entsprechend mit \(\le\) statt \(<\).
Bei Umformungen einer Ungleichung muss geprüft werden, ob sich die Richtung des Vergleichs ändert.
Vorzeichen entscheidet
Beim Multiplizieren oder Dividieren mit einer negativen Zahl kehrt sich das Ungleichheitszeichen um. Bei einem Term unbekannten Vorzeichens ist deshalb eine Fallunterscheidung nötig.
Betragsungleichungen
Bei Beträgen trennen die Nullstellen der Ausdrücke innerhalb der Betragsstriche die Zahlengerade in Fälle. In jedem Fall kann der Betrag durch seine Definition ersetzt werden.
Beispiel: Eine Betragsungleichung lösen
Bestimmen Sie alle \(x\in\mathbb R\) mit
\[|x-2|<4-x.\]
Die kritische Stelle ist \(x=2\).
Fall 1: \(x-2<0\), also \(x<2\). Dann gilt \(|x-2|=2-x\). Damit wird die Ungleichung zu
\[ 2-x<4-x \] was stets wahr ist. Dieser Fall liefert \(L_1=(-\infty,2)\).
Fall 2: \(x-2\geq 0\), also \(x\geq 2\). Dann gilt \(|x-2|=x-2\). Daher wird die Ungleichung zu
\[ x-2<4-x\Longleftrightarrow2x<6\Longleftrightarrow x<3 \] Mit der Fallbedingung ergibt sich \(L_2= [2,3)\).
Insgesamt ist die Lösungsmenge
\[ L = L_1 \cup L_2 = (-\infty,3) \]
Quadratische Ungleichungen
Eine quadratische Ungleichung kann algebraisch oder über das Vorzeichen der zugehörigen Parabel gelöst werden. Die Nullstellen teilen die Zahlengerade in Bereiche konstanten Vorzeichens.
Beispiel: Aufwand eines quadratischen Algorithmus
Ein einfacher Algorithmus benötigt näherungsweise \(n^2+3n\) Operationen. Für welche positiven ganzzahligen \(n\) bleibt er unter \(10\,000\) Operationen?
Die positive Nullstelle von \(n^2+3n-10\,000=0\) ist
\[n=\frac{-3+\sqrt{40\,009}}2\approx98{,}51.\]
Da die Parabel nach oben geöffnet ist, gilt die Schranke für \(n<98{,}51\). Für \(n\in\mathbb N\) sind also \(n=1,\ldots,98\) zulässig.
Gebrochenrationale Ungleichungen
Bei gebrochenrationalen Ungleichungen sind Nennernullstellen ausgeschlossen. Außerdem darf erst nach Bestimmung des Nennerzeichens multipliziert werden.
Beispiel: Vorzeichentabelle statt Fallchaos
Lösen Sie \(\frac{x-2}{x+1}\ge0\).
Kritische Stellen sind \(-1\) (nicht definiert) und \(2\) (Nullstelle). Auf \((-\infty,-1)\) sind Zähler und Nenner negativ, der Quotient ist positiv. Auf \((-1,2)\) ist er negativ, auf \([2,\infty)\) nichtnegativ. Somit gilt
\[L=(-\infty,-1)\cup[2,\infty).\]
Zusammenfassung
- Addition erhält die Richtung einer Ungleichung; Multiplikation mit einer negativen Zahl kehrt sie um.
- Nullstellen von Betragsausdrücken und Nennern bestimmen die Fallgrenzen.
- Die Lösungsmenge entsteht erst durch Verknüpfen der Teillösungen mit ihren jeweiligen Fallbedingungen.
- Bei quadratischen Ungleichungen entscheidet das Vorzeichen zwischen und außerhalb der Nullstellen.