Code
flowchart LR
S[Sekante] --> G[Grenzübergang]
G --> T[Tangente]
T --> A[Ableitung]flowchart LR S[Sekante] --> G[Grenzübergang] G --> T[Tangente] T --> A[Ableitung]
Technik-Demo: Ableitungen
Ein fachlicher Kern – drei didaktische Ansichten
Leitfrage
Wie lässt sich die Steigung von \(f(x)=x^2\) im Punkt \(x=2\) bestimmen?
Auf der Website wird die Idee ausführlich erklärt: Der Differenzenquotient beschreibt zunächst eine Sekantensteigung. Im Grenzübergang entsteht die Tangentensteigung.
Gemeinsamer Kern
Für \(h\ne0\) gilt
\[ m(h)=\frac{f(2+h)-f(2)}{h}. \tag{A.1} \]
Für \(f(x)=x^2\) vereinfacht sich Gleichung A.1 zu \(m(h)=4+h\).
Im Grenzübergang wird aus der Sekantensteigung die Steigung an einem Punkt.
Definition
Der Grenzwert des Differenzenquotienten heißt Ableitung.
Für Potenzfunktionen lässt sich die Grenzwertberechnung in einer allgemeinen Ableitungsregel zusammenfassen.
Satz
Für \(f(x)=x^n\) gilt \(f'(x)=n x^{n-1}\).
Visualisierungen
Statische Python-Grafik
Die Quelldatei scripts/generate_figures.py erzeugt Abbildung 1 reproduzierbar mit Python und Matplotlib.
Präzise TikZ-Grafik
Interaktives 3D-Beispiel
Mermaid
Medien
Audio
Video
GeoGebra
Die Potenzregel kann auf die einzelnen Summanden eines Polynoms angewendet werden.
Beispiel.
Web-Referenzbeispiel
Referenzbeispiel: Für \(r(x)=x^3-2x\) ist \(r'(x)=3x^2-2\).
Beispiele und Aufgaben
Live-Aufgabe
Notebooks im JupyterHub
Python: Im HTW-JupyterHub öffnen
# Beispiel für Code-Faltung auf der Website
def differenzenquotient(f, x, h):
return (f(x + h) - f(x)) / h
differenzenquotient(lambda x: x**2, 2, 0.1)