4.2 Umrechnen zwischen Zahlensystemen
Drei Umrechnungswege
Für das Umrechnen sind drei Situationen besonders wichtig:
- Eine Darstellung wird durch Auswerten der Stellenwerte ins Dezimalsystem übertragen.
- Eine Darstellung im Dezimalsystem wird durch wiederholte Division und/oder Multiplikation in eine andere Basis umgerechnet.
- Zwei Darstellungen in verschiedenen Basen werden direkt ineinander umgerechnet, wenn die Basen zueinander potenzielle Beziehungen haben.
Beachte: Ganzzahlige und gebrochene Anteile werden getrennt behandelt und anschließend wieder zusammengesetzt.
Die Ziffern der neuen Darstellung lassen sich systematisch aus Quotienten und Resten gewinnen.
Satz 4.2 (Umrechnung aus dem Dezimalsystem). Gegeben seien eine Basis \(b\in\mathbb N\) mit \(b\ge2\) und eine reelle Zahl \(x\ge0\). Schreibe \(x=N+r\) mit \(N=\lfloor x\rfloor\) und \(0\le r<1\). Dann gilt
\[ x=(a_m\ldots a_0,a_{-1}a_{-2}\ldots)_b, \qquad a_j\in\{0,1,\ldots,b-1\}, \]
wobei die Ziffern durch folgende Verfahren bestimmt werden:
- Vorkommaziffern: Setze \(N_0=N\). Für \(k\ge0\) sind \(N_{k+1}=\left\lfloor\frac{N_k}{b}\right\rfloor\) die Quotienten und \(a_k=N_k-bN_{k+1}\) die Reste. Stoppe beim ersten \(N_{m+1}=0\); gelesen wird \(a_m\ldots a_0\).
- Nachkommaziffern: Setze \(r_0=r\). Für \(k\ge1\) sind \(a_{-k}=\lfloor br_{k-1}\rfloor\) die ganzzahligen Anteile und \(r_k=br_{k-1}-a_{-k}\) die neuen Reste. Ein Rest \(r_k=0\) liefert ab dann nur noch Nullen. Wiederholt sich ein Rest, wiederholen sich die nachfolgenden Ziffern periodisch.
Am Binärsystem lässt sich zunächst die Leserichtung der Divisionsreste nachvollziehen.
Beispiel: Dezimal nach Binär
Rechnen Sie \((43)_{10}\) in das Binärsystem um.
Bei Zahlen mit Nachkommateil ergänzen wir die Divisionen durch Multiplikationen; dabei kann eine Periode entstehen.
Beispiel: Dezimal nach Oktal mit periodischem Nachkommateil
Wir rechnen \((197{,}4)_{10}\) in das Oktalsystem um und behandeln Vorkomma- und Nachkommateil nacheinander.
Vorkommateil: Die wiederholte Division durch \(8\) liefert die Ziffern von der niedrigsten zur höchsten Stelle:
\[\begin{aligned} {}197 & =24\cdot8+5 \\ 24 & =3\cdot8+0 \\ 3 & =0\cdot8+3. \end{aligned}\]
Nach drei Divisionsschritten ist der Quotient \(0\). Die Reste von unten nach oben ergeben \(3\), \(0\), \(5\), also \((197)_{10}=(305)_8\). Die mittlere Ziffer \(0\) muss dabei mitgeschrieben werden.
Nachkommateil: Wir multiplizieren den jeweils verbleibenden Rest mit \(8\). Der ganzzahlige Anteil jedes Produkts ist die nächste Nachkommaziffer:
\[\begin{aligned} {}0{,}4\cdot8 & =3+0{,}2 \\ 0{,}2\cdot8 & =1+0{,}6 \\ 0{,}6\cdot8 & =4+0{,}8 \\ 0{,}8\cdot8 & =6+0{,}4. \end{aligned}\]
Die Ziffern werden von oben nach unten gelesen: \(3\), \(1\), \(4\), \(6\). Mit dem Rest \(0{,}4\) ist der Anfangswert wieder erreicht, sodass sich die Ziffernfolge \(3146\) wiederholt.
Zusammensetzen: Vorkommateil und periodischer Nachkommateil ergeben
\[ (197{,}4)_{10}=(305{,}\overline{3146})_8. \]
Für die Rückrichtung ins Dezimalsystem addieren wir die durch die Stellengewichte bestimmten Beiträge.
Beispiel. Für \((1E2,B8)_{16}\) gilt \((E)_{16}=14\) und \((B)_{16}=11\). Daher
\[\begin{aligned} {}(1E2,B8)_{16} & =1\cdot16^2+14\cdot16+2 \\ & \quad{}+11\cdot16^{-1}+8\cdot16^{-2} \\ & =256+224+2+\frac{11}{16}+\frac{8}{256} \\ & =(482{,}71875)_{10}. \end{aligned}\]
Ist eine Basis eine ganzzahlige Potenz der anderen, lassen sich ihre Ziffern durch passende Gruppen direkt zuordnen.
Satz 4.3 (Gruppierung bei Potenzen der Basis). Seien \(b,k\in\mathbb N\) mit \(b\ge2\), \(k\ge1\) und \(B=b^k\). Dann bleibt der Wert einer Zahl unverändert, wenn man in ihrer Darstellung zur Basis \(B\) jede Ziffer durch ihre Darstellung zur Basis \(b\) mit genau \(k\) Ziffern ersetzt. Dabei ergänzt man jede Gruppe bei Bedarf links mit Nullen.
Umgekehrt werden die Ziffern zur Basis \(b\) vom Komma aus in Gruppen zu je \(k\) Stellen zusammengefasst und durch je eine Ziffer zur Basis \(B\) ersetzt. Unvollständige Gruppen ergänzt man im Vorkommateil links und im Nachkommateil rechts mit Nullen.
Für das Hexadezimal- und das Dualsystem gilt \(16=2^4\), also werden jeweils vier Binärziffern zu einer Hexadezimalziffer zusammengefasst.
Beispiel: Umrechnen mit Vierergruppen (\(16=2^4\))
\[\begin{aligned} {}(A8C,B2)_{16} & =(1010\;1000\;1100,1011\;0010)_2. \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} {}(110\;1110,101)_2 & =(0110\;1110,1010)_2 \\ & =(6E,A)_{16}. \end{aligned}\]
Zusammenfassung
- Stellenwertdarstellungen werden durch ihre Stellengewichte ausgewertet.
- Wiederholte Division liefert ganzzahlige Ziffern in umgekehrter Reihenfolge.
- Wiederholte Multiplikation liefert Nachkommaziffern in Leserichtung.
- Binär- und Hexadezimaldarstellungen lassen sich über Vierergruppen direkt ineinander überführen.