5.3 Darstellungsformen
Algebraische Darstellung
Die bereits bekannte Form
\[ z=x+y\mathrm i,\qquad x,y\in\mathbb R, \]
heißt algebraische Darstellung. Dabei sind \(x=\operatorname{Re}(z)\) der Realteil und \(y=\operatorname{Im}(z)\) der Imaginärteil.
Trigonometrische Darstellung
Statt der Koordinaten verwenden wir nun den Betrag \(r\) und einen Winkel \(\varphi\). Die Beziehungen \(x=r\cos\varphi\) und \(y=r\sin\varphi\) liefern die folgende Darstellung.
Definition 5.5 (Trigonometrische Darstellung). Für \(z\neq0\), \(r=|z|\) und ein Argument \(\varphi\) von \(z\) heißt
\[ z=r(\cos\varphi+\mathrm i\,\sin(\varphi)) \]
die trigonometrische Darstellung oder Polarform von \(z\). Dabei ist \(r>0\) der Radius bzw. Betrag und \(\varphi\) ein Winkel bzw. Argument der komplexen Zahl.
Exponentielle Darstellung
Die Eulersche Formel verbindet Sinus und Kosinus mit einem Ausdruck der Exponentialfunktion. Wie dieser Ausdruck definiert wird, erläutern wir im Anschluss an die exponentielle Darstellung.
Satz 5.2 (Eulersche Formel). Für jeden Winkel \(\varphi\in\mathbb R\) im Bogenmaß gilt
\[ \mathrm e^{\mathrm i\varphi}=\cos\varphi+\mathrm i\,\sin(\varphi). \]
Die Zahl \(\mathrm e^{\mathrm i\varphi}\) hat den Betrag \(1\) und das Argument \(\varphi\). Sie entspricht dem Punkt \((\cos\varphi,\sin\varphi)\) auf dem Einheitskreis.
Mit der Eulerschen Formel lässt sich die trigonometrische Darstellung kompakt schreiben: Der Faktor \(r\) multipliziert die Koordinaten des zugehörigen Punktes auf dem Einheitskreis.
Definition 5.6 (Exponentielle Darstellung). Für eine komplexe Zahl \(z\neq0\), \(r=|z|>0\) und ein Argument \(\varphi\) von \(z\) heißt
\[ z=r\mathrm e^{\mathrm i\varphi} \]
die exponentielle Darstellung von \(z\). Dabei ist \(r\) der Radius bzw. Betrag und \(\varphi\) der Winkel bzw. ein Argument von \(z\). Die Zahl \(\mathrm e^{\mathrm i\varphi}\) ist der zugehörige Punkt auf dem Einheitskreis.
Taylorreihe der reellen Exponentialfunktion
Wie lässt sich ein Exponent wie \(\mathrm i\varphi\) verstehen? Die Basis bleibt die reelle Eulersche Zahl \(\mathrm e\approx2{,}71828\). Wir erweitern die Exponentialfunktion mithilfe einer unendlichen Summe. Dazu betrachten wir zunächst die bekannte reelle Funktion als kurzen Vorgriff auf das zweite Semester.
Bemerkung: Taylorreihe von \(\mathrm e^x\). Für jedes \(x\in\mathbb R\) gilt
\[ \mathrm e^x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!} =1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots. \]
Die rechte Seite heißt Taylorreihe von \(\mathrm e^x\) um \(0\). Dabei ist \(k!\) die Fakultät und \(0!=1\).
Eine Reihe ist eine unendliche Summe; ihr Wert ist der Grenzwert der endlichen Teilsummen. Die Herleitung dieser Taylorreihe und die systematische Behandlung von Reihen folgen im zweiten Semester.
Weiterführende Lektüre: G. und S. Teschl, Mathematik für Informatiker, Band 2: Analysis und Statistik, 3. Aufl., Springer Vieweg, 2014, Abschnitt 20.1 „Taylorreihen“, S. 83–89: Taylorpolynome, Fehlerabschätzung, Konvergenz und Beispiele, darunter \(\mathrm e^x\).
Komplexe Exponentialfunktion
Rechenregeln
Die komplexe Exponentialfunktion setzt die reelle fort. Die vertrauten Potenzgesetze für die feste Basis \(\mathrm e\) bleiben erhalten; insbesondere können wir Exponenten beim Multiplizieren addieren.
Bemerkung: Potenzgesetze für die Basis \(\mathrm e\). Für \(z,w\in\mathbb C\) und \(n\in\mathbb Z\) gilt
\[ \mathrm e^{z+w}=\mathrm e^z\,\mathrm e^w,\qquad \frac{\mathrm e^z}{\mathrm e^w}=\mathrm e^{z-w}, \]
\[ \mathrm e^{-z}=\frac1{\mathrm e^z},\qquad (\mathrm e^z)^n=\mathrm e^{nz},\qquad \mathrm e^0=1. \]
Dabei ist \(\mathrm e^z\neq0\) für jedes \(z\in\mathbb C\). Für reelle Winkel \(\alpha,\beta\) folgt insbesondere
\[ \mathrm e^{\mathrm i\alpha}\,\mathrm e^{\mathrm i\beta} =\mathrm e^{\mathrm i(\alpha+\beta)}. \]
Beim Multiplizieren dieser Punkte auf dem Einheitskreis werden also die Winkel addiert.
In Abschnitt 5.4 verwenden wir diese Regel beim Multiplizieren von Zahlen in Polarform.
Ein allgemeiner komplexer Exponent
Die Rechenregeln verbinden den Realteil des Exponenten mit dem Betrag und den Imaginärteil mit einem Winkel des Ergebnisses.
Bemerkung: Die Bedeutung von \(\mathrm e^{a+b\mathrm i}\). Für \(a,b\in\mathbb R\) gilt
\[ \mathrm e^{a+b\mathrm i} =\mathrm e^a\,\mathrm e^{\mathrm i b} =\mathrm e^a\bigl(\cos b+\sin(b)\,\mathrm i\bigr). \]
- Der Realteil \(a\) des Exponenten bestimmt den Betrag \(\mathrm e^a\).
- Der Imaginärteil \(b\) des Exponenten ist ein Argument des Ergebnisses im Bogenmaß.
- Für \(b=0\) erhalten wir die bekannte positive reelle Zahl \(\mathrm e^a\).
- Für \(a=0\) ist der Betrag \(1\): Der Punkt liegt auf dem Einheitskreis.
Ein positives \(a\) ergibt einen Betrag größer als \(1\), ein negatives \(a\) einen Betrag zwischen \(0\) und \(1\). Der Winkel \(b\) bleibt dabei gleich. Weitere Eigenschaften dieser Funktion werden im zweiten Semester behandelt.
Bei \(\mathrm e^{\mathrm i}\) ist der zugehörige reelle Winkel \(\varphi=1\) im Bogenmaß.
Beispiel: Einen imaginären Exponenten auswerten
Welchen Wert hat \(\mathrm e^{\mathrm i}\), und wo liegt die Zahl in der Ebene?
Winkel sind nicht eindeutig
Die Periodizität von Sinus und Kosinus überträgt sich auf die Exponentialform.
Bemerkung: Gleiche Zahl, verschiedene Winkel.
- \(\mathrm e^{\mathrm i(\varphi+2k\pi)}=\mathrm e^{\mathrm i\varphi}\) für alle \(k\in\mathbb Z\).
- Bei positivem Betrag beschreiben zwei Polarformen dieselbe Zahl genau dann, wenn ihre Beträge gleich sind und sich ihre Winkel um \(2k\pi\) (mit \(k\in \mathbb Z\)) unterscheiden.
- \(0=0\cdot\mathrm e^{\mathrm i\varphi}\) gilt für jeden Winkel; der Null wird dadurch kein Argument zugeordnet.
- Exponenten \(\mathrm i\varphi\) verwenden Winkel im Bogenmaß, z.B. \(180^\circ\) entspricht \(\pi\).
Algebraische und trigonometrische Form erkunden
Variieren Sie in der algebraischen Form \(a\) und \(b\) oder in der trigonometrischen Form den Radius \(r\) (hier \(\rho\) genannt) und den Winkel \(\phi\) (hier \(\theta\) genannt).
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Drei Darstellungen im Überblick
Für dieselbe komplexe Zahl \(z\neq0\) stehen nun drei Darstellungen zur Verfügung:
| Darstellung | Schreibweise |
|---|---|
| algebraisch | \(z=x+y\mathrm i\) |
| trigonometrisch | \(z=r(\cos\varphi+\sin(\varphi)\,\mathrm i)\) |
| exponentiell | \(z=r\mathrm e^{\mathrm i\varphi}\) |
Dabei ist \(r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}>0\) der Radius bzw. Betrag und \(\varphi\) ein Winkel bzw. Argument von \(z\). Es gelten \(x=r\cos\varphi\) und \(y=r\sin\varphi\).
Wählen wir \(\varphi=\operatorname{Arg}(z)\in(-\pi,\pi]\), sind auch \(r\) und \(\varphi\) eindeutig bestimmt.
Bei bekannten Winkeln kann man zwischen allen drei Formen exakt wechseln.
Beispiel: Eine Zahl in drei Formen
Stellen Sie \(z=\sqrt3-\mathrm i\) trigonometrisch und exponentiell dar. Betrag und Lage im vierten Quadranten bestimmen den passenden Winkel.