7.9 Hyperbelfunktionen
Aus Exponentialfunktionen zusammengesetzt
Durch Addieren bzw. Subtrahieren von \(\mathrm e^x\) und \(\mathrm e^{-x}\) entstehen ein gerader und ein ungerader Anteil der Exponentialfunktion.
Definition 7.21 (Hyperbelfunktionen). Hyperbelkosinus und Hyperbelsinus sind die Funktionen \(\cosh:\mathbb R\to\mathbb R\) und \(\sinh:\mathbb R\to\mathbb R\) mit \[ \cosh(x):=\frac{\mathrm e^x+\mathrm e^{-x}}2,\qquad \sinh(x):=\frac{\mathrm e^x-\mathrm e^{-x}}2. \] Hyperbeltangens und Hyperbelkotangens sind die Funktionen \(\tanh:\mathbb R\to\mathbb R\) und \(\coth:\mathbb R\setminus\{0\}\to\mathbb R\) mit \[ \tanh(x):=\frac{\sinh x}{\cosh x},\qquad \coth(x):=\frac{\cosh x}{\sinh x}. \]
Da \(\cosh x\geq1\) ist, hat \(\tanh\) keine Definitionslücke. \(\sinh\) hat dagegen die einzige Nullstelle \(0\), weshalb \(\coth\) dort nicht definiert ist. Die Hyperbelfunktionen sind im Gegensatz zu den trigonometrischen Funktionen nicht periodisch.
Warum „Hyperbel“?
Die Kreiskoordinaten erfüllen \(\cos^2x+\sin^2x=1\). Für die neuen Funktionen steht an derselben Stelle ein Minuszeichen.
Satz 7.11 (Hyperbelidentität). Für alle \(x\in\mathbb R\) gilt \[ \begin{aligned} \cosh^2x-\sinh^2x&=1,\\ \cosh x+\sinh x&=\mathrm e^x,\\ \cosh x-\sinh x&=\mathrm e^{-x}. \end{aligned} \] Der Punkt \((\cosh x,\sinh x)\) liegt auf dem rechten Ast der Hyperbel \(u^2-v^2=1\).
Die Identität folgt durch Einsetzen der Definitionen.
Beweis. Mit \(A=\mathrm e^x\) und \(B=\mathrm e^{-x}\) gilt \(AB=1\) und \[ \cosh^2x-\sinh^2x=\frac{(A+B)^2-(A-B)^2}{4}=AB=1. \] Die beiden übrigen Gleichungen ergeben sich durch Addition bzw. Subtraktion. \(\square\)
Hyperbelsinus und Hyperbelkosinus geometrisch
Variieren Sie \(\alpha\) und beobachten Sie den Punkt \((\cosh\alpha,\sinh\alpha)\).
Die Darstellung bestimmt den Punkt auf der Hyperbel über eine Fläche:
- Das Argument \(\alpha\): Es ist die doppelte orientierte Fläche \(F\) des Hyperbelsektors, also \(\alpha=2F\). Der Sektor wird von der positiven waagerechten Achse, der Strecke vom Ursprung zum markierten Punkt und dem Hyperbelbogen begrenzt. Für \(\alpha>0\) ist \(F\) der rote Flächeninhalt; unterhalb der waagerechten Achse, also für \(\alpha<0\), wird die Fläche negativ gezählt.
- Von der Fläche zum Punkt: Zu einer gegebenen orientierten Fläche \(F=\frac{\alpha}{2}\) bestimmt man den Punkt auf dem rechten Ast von \(u^2-v^2=1\) so, dass der zugehörige Hyperbelsektor genau diese Fläche besitzt.
- Funktionswerte ablesen: Die Abszisse, also die waagerechte Koordinate des Punkts, ist \(\cosh\alpha\). Die Ordinate, also seine senkrechte Koordinate, ist \(\sinh\alpha\).
Darstellungsfehler bei negativem \(\alpha\): Für \(\alpha<0\) färbt das Applet fälschlich das gesamte Dreieck ein. Gemeint ist der Hyperbelsektor unterhalb der waagerechten Achse. Sein gewöhnlicher Flächeninhalt beträgt \(\frac{|\alpha|}{2}\); als orientierte Fläche wird er negativ gezählt.
GeoGebra-Material direkt öffnen · Marta Alpar Flothmann.
Bildmengen und Symmetrien
Die Exponentialdarstellungen erklären sowohl die Symmetrie als auch die erreichbaren Funktionswerte.
| Funktion | Definitionsbereich | Bildmenge | Symmetrie |
|---|---|---|---|
| \(\sinh\) | \(\mathbb R\) | \(\mathbb R\) | ungerade |
| \(\cosh\) | \(\mathbb R\) | \([1,\infty)\) | gerade |
| \(\tanh\) | \(\mathbb R\) | \((-1,1)\) | ungerade |
| \(\coth\) | \(\mathbb R\setminus\{0\}\) | \((-\infty,-1)\cup(1,\infty)\) | ungerade |
\(\sinh\) und \(\tanh\) sind auf \(\mathbb R\) streng wachsend. \(\cosh\) ist auf \((-\infty,0]\) streng fallend und auf \([0,\infty)\) streng wachsend. \(\coth\) ist auf jedem der Intervalle \((-\infty,0)\) und \((0,\infty)\) streng fallend, jedoch nicht auf ihrem gesamten Definitionsbereich. \(\tanh\) nähert sich für gegen \(-\infty\) fallendes \(x\) (bzw für gegen \(\infty\) wachsendes \(x\)) dem Wert \(-1\) (bzw. \(1\)) an, erreicht ihn aber nicht.
Vier Hyperbelfunktionen im Graphen
Summen von Argumenten
Aus den Exponentialgesetzen folgen ähnliche Additionstheoreme wie bei Sinus und Kosinus.
Satz 7.12 (Additionstheoreme der Hyperbelfunktionen). Für \(x,y\in\mathbb R\) gilt \[ \begin{aligned} \sinh(x\pm y)&=\sinh x\cosh y\pm\cosh x\sinh y,\\ \cosh(x\pm y)&=\cosh x\cosh y\pm\sinh x\sinh y,\\ \tanh(x\pm y)&=\frac{\tanh x\pm\tanh y}{1\pm\tanh x\tanh y}. \end{aligned} \]
Eine beschränkte Ausgabe kann bei der Verarbeitung großer positiver und negativer Eingangswerte nützlich sein.
Beispiel: Eine Aktivierungsfunktion
Die Zuordnung \(a(x)=\tanh x\) wird als Aktivierungsfunktion verwendet. Welche Ausgabe entsteht bei \(x=\ln3\)? Kann die Ausgabe \(1\) erreicht werden?
Wachstum und Sättigung vergleichen
Vergleichen Sie \(\sinh\), \(\cosh\), \(\tanh\) und \(\coth\). Untersuchen Sie, wie \(a\) und \(k\) den Ausgabebereich von \(\tanh\) verändern.
Die orange gestrichelte Kurve zeigt die Grundfunktion mit den Startparametern, die türkise Kurve die veränderte Funktion. Alle Regler lassen sich auch mit den Pfeiltasten bedienen; unter dem Graphen stehen drei berechnete Werte.
Interaktiver Graph: Aktivieren Sie JavaScript, um die Parameter zu verändern. Die statische Abbildung und die Formeln darüber sind ohne JavaScript verfügbar.
Zusammenfassung
- Hyperbelfunktionen entstehen aus \(\mathrm e^x\) und \(\mathrm e^{-x}\).
- \(\cosh^2x-\sinh^2x=1\) erklärt den Bezug zur Hyperbel.
- \(\cosh\) ist gerade; die drei anderen Hyperbelfunktionen sind ungerade.
- \(\tanh\) nimmt genau die Werte zwischen \(-1\) und \(1\) an; \(\coth\) ist bei \(0\) nicht definiert.
- Für Umkehrfunktionen müssen die jeweiligen Bildmengen und Einschränkungen beachtet werden.