7.8 Trigonometrische Funktionen
Sinus und Kosinus am Einheitskreis
Eine Kreisbewegung auf dem Einheitskreis verbindet Winkel mit zwei Koordinaten. Wir messen Winkel im Bogenmaß: Eine volle Umdrehung entspricht \(2\pi\), also \(360^\circ\).
Definition 7.17 (Sinus und Kosinus). Vom Punkt \((1,0)\) aus gehen wir auf dem Einheitskreis um den Winkel \(x\), positiv gegen den Uhrzeigersinn. Die Koordinaten des erreichten Punkts \(P(x)\) bezeichnen wir mit Kosinus und Sinus von \(x\) also \[ P(x)=(\cos x,\sin x). \] Damit sind \(\sin,\cos:\mathbb R\to[-1,1]\) definiert.
Ein Winkel und zwei Koordinaten
Tangens und Kotangens
Tanges und Kotangens definieren wir über Quotienten von Sinus und Kosinus.
Definition 7.18 (Tangens und Kotangens). Auf den Definitionsbereichen \[ D_{\tan}=\mathbb R\setminus\left\{\frac\pi2+k\pi\mid k\in\mathbb Z\right\}, \qquad D_{\cot}=\mathbb R\setminus\{k\pi\mid k\in\mathbb Z\} \] definieren wir Tangens und Kotangens durch \[ \begin{aligned} \tan:D_{\tan}&\to\mathbb R,& x&\mapsto\frac{\sin x}{\cos x},\\ \cot:D_{\cot}&\to\mathbb R,& x&\mapsto\frac{\cos x}{\sin x}. \end{aligned} \]
Bemerkung. Tangens und Kotangens besitzen jeweils die Bildmenge \(\mathbb R\).
Die ausgeschlossenen Stellen sind einfache Pole. Die Beziehung \(\cot x=\frac1{\tan x}\) gilt nur dort, wo beide Seiten definiert sind, also insbesondere nicht an den Nullstellen von \(\cos\).
Winkelfunktionen im Einheitskreis
Verändern Sie den Winkel und vergleichen Sie die Funktionswerte.
GeoGebra-Material direkt öffnen · Callum Marshall und kokming lee. Die Winkel werden in Grad angezeigt; bei \(90^\circ\) ist Tangens nicht definiert.
Vom Einheitskreis zum Funktionsgraphen
Variieren Sie \(\theta\) und blenden Sie Sinus, Kosinus oder Tangens ein.
GeoGebra-Material direkt öffnen · Tim Elton. Die Winkel werden in Grad angezeigt (\(180^\circ=\pi\) im Bogenmaß).
Periodizität und Symmetrie
Wir beginnen mit der Definition der Periodizität.
Definition 7.19 (Periodizität). Eine Funktion \(f:D\to\mathbb R\) heißt periodisch, wenn ein \(T>0\) mit \(D+T=D\) und \[ f(x+T)=f(x)\qquad\text{für alle }x\in D \] existiert. Jedes solche \(T\) heißt Periode. Existiert eine kleinste positive Periode, so heißt sie Grundperiode.
Nicht jede periodische Funktion besitzt eine kleinste positive Periode: Bei einer konstanten Funktion ist jede positive Zahl eine Periode.
Die Spiegelung des Arguments an null führt zu zwei wichtigen Symmetrien.
Definition 7.20 (Gerade und ungerade Funktion). Sei \(D=-D\). Die Funktion \(f:D\to\mathbb R\) heißt
- gerade, wenn \(f(-x)=f(x)\) für alle \(x\in D\) gilt;
- ungerade, wenn \(f(-x)=-f(x)\) für alle \(x\in D\) gilt.
Hier ist \(-D=\{-d \mid d\in D\}\). Die Bedingung \(D=-D\) heißt also \(d\in D \Leftrightarrow -d \in D\). Dies stellt sicher, dass alle Funktionswerte die man die Symmetrie prüfen muss auch wirklich berechnet werden können.
Bemerkung. Der Graph einer geraden Funktion ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse; der Graph einer ungeraden Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Eigenschaften der vier trigonometrischen Funktionen
Aus dem Einheitskreis lassen sich Symmetrie, Nullstellen und Wiederholungen ablesen.
| Funktion | Bildmenge | Grundperiode | Symmetrie | Nullstellen, \(k\in\mathbb Z\) |
|---|---|---|---|---|
| \(\sin\) | \([-1,1]\) | \(2\pi\) | ungerade | \(k\pi\) |
| \(\cos\) | \([-1,1]\) | \(2\pi\) | gerade | \(\frac\pi2+k\pi\) |
| \(\tan\) | \(\mathbb R\) | \(\pi\) | ungerade | \(k\pi\) |
| \(\cot\) | \(\mathbb R\) | \(\pi\) | ungerade | \(\frac\pi2+k\pi\) |
Periodische Graphen
Beziehungen zwischen Sinus und Kosinus
Der Satz des Pythagoras am Einheitskreis und die Addition von Winkeln liefern die folgenden Rechenregeln.
Satz 7.10 (Trigonometrische Identitäten). Für \(x,y\in\mathbb R\) gilt \[ \begin{aligned} \sin^2x+\cos^2x&=1,\\ \sin(x\pm y)&=\sin x\cos y\pm\cos x\sin y,\\ \cos(x\pm y)&=\cos x\cos y\mp\sin x\sin y. \end{aligned} \] Insbesondere: \(\sin(2x)=2\sin x\cos x\) und \(\cos(2x)=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x\).
Es gibt viele weitere trigonometrische Identitäten, siehe zum Beispiel Wikipedia.
Amplitude und Frequenz
Sinusförmige Signale können unterschiedlich hoch ausschlagen und sich unterschiedlich schnell wiederholen.
Wir betrachten sinusförmige Funktionen der Form \[ s:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad x\mapsto a\sin\bigl(\omega(x-h)\bigr)+k \] mit \(a,\omega,h,k\in\mathbb R\), \(a\neq0\) und \(\omega\neq0\).
Die Begriffe und Ableseregeln gelten ebenso mit \(\cos\) statt \(\sin\).
- Die Amplitude \(A\) ist der größte Abstand des Graphen von seiner Mittellinie. Diese liegt genau zwischen dem kleinsten und dem größten Funktionswert. Die Amplitude ist also die Hälfte der Differenz dieser Werte.
- Ist \(T\) die Grundperiode von \(s\), so heißt \(\nu=\frac1T\) die Frequenz. Sie gibt die Anzahl vollständiger Schwingungen pro Einheit der \(x\)-Achse an. Ist \(x\) die Zeit in Sekunden, ist ihre Einheit Hertz (Hz): \(1\,\mathrm{Hz}=1\,\mathrm{s}^{-1}\) bedeutet eine vollständige Schwingung pro Sekunde.
Parameter eines sinusförmigen Signals
Aus der folgenden Form lassen sich die drei Größen und die Verschiebungen direkt ablesen.
Für die oben betrachtete Funktion \(s\) gilt die folgende Übersicht. \[ s(x)=a\sin\bigl(\omega(x-h)\bigr)+k. \]
| Größe | An den Parametern ablesen |
|---|---|
| Amplitude | \(A=|a|\) |
| Grundperiode | \(T=\dfrac{2\pi}{|\omega|}\) |
| Frequenz | \(\nu=\dfrac{|\omega|}{2\pi}=\dfrac1T\) |
| Mittellinie | \(y=k\); Verschiebung um \(k\) in \(y\)-Richtung |
| Verschiebung in \(x\)-Richtung | Um \(|h|\): \(h>0\) rechts, \(h<0\) links |
Ist \(x\) die Zeit in Sekunden, wird \(T\) in Sekunden und \(\nu\) in Hertz angegeben.
Wir lesen die Parameter eines zeitabhängigen Signals ab und bestimmen daraus seine charakteristischen Größen.
Beispiel: Ein synthetisches Signal
Für \(s(t)=2\sin(6\pi t)+1\) bestimmen Sie Bildmenge, Amplitude, Grundperiode und Frequenz. Die Zeit \(t\) wird in Sekunden gemessen.
Ein Signal verändern
Ändern Sie zuerst nur \(a\), dann nur \(\omega\). Vergleichen Sie die Auswirkungen auf Amplitude und Periode. Mit \(h\) verschieben Sie das Signal horizontal.
Die orange gestrichelte Kurve zeigt die Grundfunktion mit den Startparametern, die türkise Kurve die veränderte Funktion. Alle Regler lassen sich auch mit den Pfeiltasten bedienen; unter dem Graphen stehen drei berechnete Werte.
Interaktiver Graph: Aktivieren Sie JavaScript, um die Parameter zu verändern. Die statische Abbildung und die Formeln darüber sind ohne JavaScript verfügbar.
Zusammenfassung
- Sinus und Kosinus sind die Koordinaten auf dem Einheitskreis; Winkel stehen im Bogenmaß.
- Tangens und Kotangens sind Quotienten mit ausgeschlossenen Nennernullstellen.
- Sinus und Kosinus haben die Grundperiode \(2\pi\), Tangens und Kotangens \(\pi\).
- Kosinus ist gerade; Sinus, Tangens und Kotangens sind ungerade.
- Für sinusförmige Signale gilt \(A=|a|\), \(T=\frac{2\pi}{|\omega|}\) und \(\nu=\frac1T\).