7.5 Polynome
Vom Polynom zur reellen Funktion
Polynome, Koeffizienten, Grad, Nullstellen und Vielfachheiten kennen wir aus Kapitel 5.5. Hier betrachten wir die zugehörigen reellen Funktionen und ihre Graphen.
Definition 7.9 (Reelle Polynomfunktion). Ein Polynom \(p(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n\) mit reellen Koeffizienten \(a_0,\dots,a_n\in\mathbb R\) und \(n\in\mathbb N_0\) definiert die Polynomfunktion \[ p:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad x\mapsto a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n. \]
Der Grad eines Polynoms \(p\neq0\), geschrieben \(\deg(p)\), ist der größte Exponent mit einem von null verschiedenen Koeffizienten. Ist \(a_n\neq0\), so gilt also \(\deg(p)=n\). Eine von null verschiedene Konstante hat Grad \(0\); dem Nullpolynom ordnen wir hier keinen Grad zu.
Als Funktion kann \(p\) auch auf eine Teilmenge \(D\subseteq\mathbb R\) eingeschränkt werden.
Die Vorschriften \(x^2\), \(\sqrt3+4x+15x^8\) und \(4x(x-2)(x+4)\) sind Polynome, \(\sqrt x+x^3\) dagegen nicht. In Laufzeitmodellen werden oft lineare und quadratische Terme verwendet; die Eingabegröße ist dort häufig auf \(\mathbb N_0\) eingeschränkt, auch wenn wir zum Vergleich einen reellen Graphen zeichnen.
Nullstellen und Vorzeichen
Definition 7.10 (Nullstelle einer Funktion). Sei \(f:D_f\to\mathbb R\) eine Funktion mit \(D_f\subseteq\mathbb R\). Eine Zahl \(x_0\in D_f\) heißt Nullstelle von \(f\), wenn \[ f(x_0)=0. \]
Geometrisch sind die Nullstellen die \(x\)-Koordinaten der Punkte, an denen der Graph die \(x\)-Achse trifft: \((x_0,0)\) liegt auf dem Graphen von \(f\).
Nullstellen bestimmen heißt also, die Gleichung \(f(x)=0\) im Definitionsbereich \(D_f\) zu lösen. Bei Polynomen hilft die algebraische Faktorisierung beim Ablesen.
Rückverweis auf Kapitel 5.5. Der Fundamentalsatz der Algebra, die Vielfachheit von Nullstellen und das Zusammenfassen konjugierter Nullstellen wurden dort behandelt. Ein Polynom vom Grad \(n\geq1\) hat höchstens \(n\) verschiedene reelle Nullstellen; über \(\mathbb C\) besitzt es genau \(n\) Nullstellen, wenn Vielfachheiten mitgezählt werden.
Eine lokale Faktorisierung erklärt, ob der Graph an einer Nullstelle die Achse überquert oder auf derselben Seite bleibt.
Satz 7.7 (Vielfachheit und Vorzeichenwechsel). Ist \(x_0\) eine reelle Nullstelle eines von null verschiedenen Polynoms und \[ p(x)=(x-x_0)^k r(x),\qquad r(x_0)\neq0, \] so wechselt \(p\) an \(x_0\) genau dann das Vorzeichen, wenn \(k\) ungerade ist.
In einer hinreichend kleinen Umgebung von \(x_0\) hat \(r\) ein festes Vorzeichen. Der Faktor \((x-x_0)^k\) wechselt genau bei ungeradem \(k\) sein Vorzeichen. Für gerades \(k\) berührt der Graph die Achse ohne Vorzeichenwechsel.
Die Faktorisierung liefert mehr Information als allein die ausmultiplizierten Koeffizienten.
Beispiel: Eine einfache und eine doppelte Nullstelle
Untersuchen Sie \(p: \mathbb R \to \mathbb R\), \(p(x)=(x+1)^2(x-2)\) auf reelle Nullstellen und Vorzeichenwechsel. Was ändert sich bei einer Einschränkung des Definitionsbereichs auf \(D=[0,\infty)\)?
Der führende Term für große Beträge von x
Sei \(p(x)=a_nx^n+\cdots+a_0\) mit reellen Koeffizienten, \(n\geq1\) und \(a_n\neq0\). Wir vergleichen \(p(x)\) mit seinem führenden Term \(a_nx^n\) und setzen \[ C=\frac{|a_0|+\cdots+|a_{n-1}|}{|a_n|}. \] Für alle \(|x|\geq1\) gilt die Abschätzung \[ \frac{|p(x)-a_nx^n|}{|a_nx^n|}\leq\frac{C}{|x|}. \] Die linke Seite ist die relative Abweichung, bezogen auf den führenden Term. Die rechte Seite gibt dafür eine konkrete obere Schranke an.
Zum Beispiel beträgt die relative Abweichung für \(|x|\geq\max\{1,100C\}\) höchstens \(\frac1{100}\), also 1 %.
Warum gilt diese Abschätzung? Für \(|x|\geq1\) und \(0\leq k\leq n-1\) gilt \(|x|^k\leq|x|^{n-1}\). Mit der Dreiecksungleichung erhalten wir daher \[ \begin{aligned} |p(x)-a_nx^n| &=|a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0|\\ &\leq |a_{n-1}|\,|x|^{n-1}+\cdots+|a_0|\\ &\leq (|a_0|+\cdots+|a_{n-1}|)\,|x|^{n-1}. \end{aligned} \] Division durch \(|a_n|\,|x|^n>0\) liefert die angegebene Schranke. Jeder Term mit niedrigerem Exponenten trägt also im Verhältnis zum führenden Term höchstens einen festen Faktor geteilt durch \(|x|\) bei.
Beispiel: Eine relative Abweichung von höchstens 1 %
Für \(p(x)=3x^2-2x+1\) ist \(C=\frac{2+1}{3}=1\). Deshalb gilt für alle \(|x|\geq100\): \[ \frac{|p(x)-3x^2|}{|3x^2|}\leq\frac1{100}. \] Bei \(x=100\) sind \(p(100)=29801\) und \(3\cdot100^2=30000\). Die absolute Abweichung beträgt \(199\), die relative Abweichung \(\frac{199}{30000}\approx0{,}00663\), also etwa 0,663 %. Der Vergleich betrifft somit die relative Abweichung; die absolute Differenz muss dabei nicht klein sein.
Grundform, Streckung und Verschiebung
Für Funktionen, die aus einer einzelnen Potenz entstehen, lassen sich Verschiebungen und Streckungen direkt an den Parametern ablesen.
Bei \(f(x)=a(x-h)^n+k\) mit \(a\neq0\) gilt:
- \(h\) verschiebt den Graphen horizontal, \(k\) vertikal.
- \(|a|\) streckt oder staucht vertikal; \(a<0\) spiegelt zusätzlich an der horizontalen Achse.
- Ein gerades \(n\) ergibt Achsensymmetrie zu \(x=h\), ein ungerades \(n\) Punktsymmetrie zum Punkt \((h,k)\).
Potenzen und Nullstellen im Graphen
Verschieben und strecken
Vergleichen Sie gerade und ungerade Exponenten. Verschieben Sie den Graphen mit \(h\) und \(k\); untersuchen Sie anschließend, was ein negatives \(a\) verändert.
Die orange gestrichelte Kurve zeigt die Grundfunktion mit den Startparametern, die türkise Kurve die veränderte Funktion. Alle Regler lassen sich auch mit den Pfeiltasten bedienen; unter dem Graphen stehen drei berechnete Werte.
Interaktiver Graph: Aktivieren Sie JavaScript, um die Parameter zu verändern. Die statische Abbildung und die Formeln darüber sind ohne JavaScript verfügbar.
Zusammenfassung
- Eine reelle Polynomfunktion ist auf ganz \(\mathbb R\) definiert; Einschränkungen sind möglich.
- Grad, Linearfaktoren, Vielfachheit und Fundamentalsatz stehen bereits in Kapitel 5.5.
- Eine Nullstelle muss im Definitionsbereich der betrachteten Funktion liegen.
- Ungerade Vielfachheit bedeutet Vorzeichenwechsel, gerade Vielfachheit keinen Wechsel.
- Die relative Abweichung vom führenden Term ist für \(|x|\geq1\) durch \(\frac{C}{|x|}\) beschränkt.
- Bei \(f(x)=a(x-h)^n+k\) beschreiben die Parameter Verschiebungen und Streckungen.