5.5 Gleichungen und Polynomzerlegungen
Quadratische Gleichungen mit reellen Koeffizienten
Die quadratische Ergänzung funktioniert auch in \(\mathbb C\); bei negativer rechter Seite entstehen zwei nichtreelle Lösungen.
Satz 5.5 (Quadratische Lösungsformel). Seien \(p,q\in\mathbb R\) feste Koeffizienten und \(D=\frac{p^2}{4}-q\). Die Gleichung
\[ z^2+pz+q=0 \]
hat in \(\mathbb C\) genau die folgenden Lösungen:
\[ \begin{cases} -\frac p2\pm\sqrt D,&D>0\quad\text{(zwei reelle Lösungen)},\\[1ex] -\frac p2,&D=0\quad\text{(eine reelle Lösung)},\\[1ex] -\frac p2\pm\sqrt{-D}\,\mathrm i,&D<0\quad\text{(zwei konjugierte Lösungen)}. \end{cases} \]
Bemerkung: Die vertraute Lösungsformel weiterverwenden. Für reelle \(p,q\) können wir in allen drei Fällen formal schreiben:
\[ z_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}. \]
Ist der Radikand \(D<0\), setzen wir formal \(\sqrt{-1}=\mathrm i\) und damit \(\sqrt D=\mathrm i\sqrt{-D}\), wobei \(\sqrt{-D}\) die positive reelle Wurzel ist. Das \(\pm\) liefert beide Lösungen; bei \(D=0\) fallen sie zusammen.
Eine Gleichung \(az^2+bz+c=0\) mit reellen Koeffizienten und \(a\neq0\) wird zuerst durch \(a\) dividiert.
Eine negative rechte Seite nach der quadratischen Ergänzung liefert ein konjugiertes Lösungspaar.
Beispiel: \(z^2-6z+13=0\)
Bestimmen Sie alle Lösungen. Die Ergänzung zu \((z-3)^2\) vereinfacht die Rechnung.
Polynome und ihre Nullstellen
Die linke Seite einer quadratischen Gleichung ist ein Beispiel für ein Polynom. Für die folgenden Zerlegungen benötigen wir den allgemeinen Begriff.
Definition 5.8 (Polynom, Grad und Nullstelle). Ein Polynom in \(z\) hat die Form
\[ P(z)=a_nz^n+\cdots+a_1z+a_0, \qquad a_j\in\mathbb C,\quad n\in\{0,1,2,\ldots\}. \]
Die Zahlen \(a_j\) heißen Koeffizienten. Ist \(a_n\neq0\), heißt \(n\) der Grad des Polynoms; \(a_n\) ist sein führender Koeffizient.
Eine Zahl \(z_0\) heißt Nullstelle, wenn \(P(z_0)=0\) gilt. Nullstellen bestimmen bedeutet also, die Gleichung \(P(z)=0\) zu lösen.
Nullstellen und Linearfaktoren
Dass Polynome über \(\mathbb C\) vollständig in Linearfaktoren zerfallen, gilt über die bisher gelösten Gleichungen hinaus.
Satz 5.6 (Fundamentalsatz der Algebra). Für jedes Polynom
\[ P(z)=a_nz^n+\cdots+a_1z+a_0,\qquad a_j\in\mathbb C,\ a_n\neq0,\ n\geq1, \]
existieren \(n\) Zahlen \(z_1,\ldots,z_n\in\mathbb C\), sodass
\[ P(z)=a_n(z-z_1)\cdots(z-z_n). \]
Die Zahlen \(z_1,\ldots,z_n\) sind die Nullstellen des Polynoms.
Wir verwenden diesen Satz ohne Beweis als Ausblick auf das Polynomkapitel.
Bemerkung: Vielfachheit und Linearfaktoren.
- Die Nullstellen \(z_1,\ldots,z_n\) müssen nicht voneinander verschieden sein.
- Kommt eine Nullstelle \(z^*\) genau \(k\)-mal in \(z_1,\ldots,z_n\) vor, so heißt \(z^*\) eine \(k\)-fache Nullstelle des Polynoms.
- Die Faktoren \((z-z_i)\) heißen Linearfaktoren.
Von komplexen zu reellen Faktoren
Bei reellen Koeffizienten treten nichtreelle Nullstellen paarweise auf; ihre Linearfaktoren lassen sich zu reellen quadratischen Faktoren verbinden.
Bemerkung: Konjugierte Nullstellen. Hat \(P\) ausschließlich reelle Koeffizienten, so gilt \(P(\overline z)=\overline{P(z)}\). Mit \(z_0\) ist daher auch \(\overline{z_0}\) eine Nullstelle.
Für \(z_0=a+b\mathrm i\) mit \(b\neq0\) ist
\[ (z-z_0)(z-\overline{z_0}) =z^2-2az+(a^2+b^2) =(z-a)^2+b^2. \]
Dieser Faktor hat reelle Koeffizienten und keine reellen Nullstellen.
Die Voraussetzung „reelle Koeffizienten“ ist wesentlich: Das Polynom \(P(z)=z-\mathrm i\) hat \(\mathrm i\) als Nullstelle, aber nicht \(-\mathrm i\).
Durch Zusammenfassen lässt sich bei einem kleinen Polynom die Verbindung zwischen Nullstellen, komplexen Linearfaktoren und reellen Faktoren verfolgen.
Beispiel: Ein Polynom dritten Grades zerlegen
Zerlegen Sie \(P(z)=z^3-2z^2+z-2\) in Linearfaktoren über \(\mathbb C\).
Zusammenfassung
- Quadratische Ergänzung liefert auch bei \(D<0\) zwei komplexe Lösungen.
- Ein Polynom vom Grad \(n\geq1\) hat über \(\mathbb C\) genau \(n\) Nullstellen, wenn Vielfachheiten mitgezählt werden.
- Jede Nullstelle liefert einen Linearfaktor.
- Bei reellen Koeffizienten lassen sich konjugierte nichtreelle Nullstellen zu reellen quadratischen Faktoren zusammenfassen.