Konfidenzintervalle bei Normalverteilung#
Für ein normalverteiltes Merkmal werden wir folgende Typen von Konfidenzintervallen kennenlernen:
Konfidenzintervall für den Erwartungswert \(\mu\)
(a) bei bekannter Varianz \(\sigma^2\)
(b) bei unbekannter Varianz \(\sigma^2\)Konfidenzintervall für die Varianz \(\sigma^2\)
(a) bei bekanntem Erwartungswert \(\mu\)
(b) bei unbekanntem Erwartungswert \(\mu\)
Konfidenzintervalle für den Erwartungswert#
Sei \(X_1, \dots, X_n\) eine Stichprobe eines normalverteilten Merkmals \(X\sim\mathrm{N}(\mu,\sigma^2)\).
Das Konfidenzintervall für den Erwartungswert \(\mu\):
(a) bei bekannter Varianz \(\sigma^2\)
zweiseitiger Fall:
\[ I(X_1,\dots,X_n) = \left[\bar X - \frac{z_{1 - \frac{\alpha}{2}}\cdot \sigma}{\sqrt{n}}\ ,\ \bar X + \frac{z_{1 - \frac{\alpha}{2}}\cdot \sigma}{\sqrt{n}}\right] \]einseitiger Fall:
\[ I(X_1,\dots,X_n) = \left[\bar X - \frac{z_{1 - \alpha}\cdot \sigma}{\sqrt{n}}\ ,\ \infty \right] \]oder
\[ I(X_1,\dots,X_n) = \left[ - \infty\ ,\ \bar X + \frac{z_{1 - \alpha}\cdot \sigma}{\sqrt{n}}\right] \]
(b) bei unbekannter Varianz \(\sigma^2\)
zweiseiter Fall:
\[ I(X_1,\dots,X_n) = \left[\bar X - \frac{t_{n-1,1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot S}{\sqrt{n}}\ ,\ \bar X + \frac{t_{n-1,1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot S}{\sqrt{n}}\right] \]einseiter Fall:
\[ I(X_1,\dots,X_n) = \left[\bar X - \frac{t_{n-1,1 - \alpha } \cdot S}{\sqrt{n}}\ ,\ \infty \right] \]oder
\[ I(X_1,\dots,X_n) = \left[-\infty \ ,\ \bar X + \frac{t_{n-1,1 - \alpha} \cdot S}{\sqrt{n}}\right] \]
Dabei gilt:
\(1 - \alpha\) ist das Konfidenzniveau
\(S = \left(\frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar X)^2 \right)^{1/2}\) ist die Stichproben-Standardabweichung
\(t_{n-1, 1 - \alpha}\) ist das \((1 - \alpha)\)-Quantil der t-Verteilung mit \(n-1\) Freiheitsgraden
Konfidenzintervalle für die Varianz#
Sei \(X_1, \dots, X_n\) eine Stichprobe eines normalverteilten Merkmals \(X\sim\mathrm{N}(\mu,\sigma^2)\).
Das Konfidenzintervall für die Varianz \(\sigma^2\):
(a) bei bekanntem Erwartungswert \(\mu\)
zweiseiter Fall:
\[ I(X_1,\dots,X_n) = \left[ \frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)^2}{\chi^2_{n, 1 - \frac{\alpha}{2}}}\ ,\ \frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)^2}{\chi^2_{n, \frac{\alpha}{2}}} \right] \]einseitiger Fall:
\[ I(X_1,\dots,X_n) = \left[ \frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)^2}{\chi^2_{n, 1 - \alpha}}\ ,\ \infty \right] \]oder
\[ I(X_1,\dots,X_n) = \left[ -\infty \ ,\ \frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)^2}{\chi^2_{n, \alpha}} \right] \]
(b) bei unbekanntem Erwartungswert \(\mu\)
zweiseitiger Fall
\[ I(X_1,\dots,X_n) = \left[ \frac{(n - 1) S^2}{\chi^2_{n - 1, 1 - \frac{\alpha}{2}}}\ ,\ \frac{(n - 1) S^2}{\chi^2_{n - 1, \frac{\alpha}{2}}} \right] \]einseitiger Fall
\[ I(X_1,\dots,X_n) = \left[ \frac{(n - 1) S^2}{\chi^2_{n - 1, 1 - \alpha}}\ ,\ \infty \right] \]oder
\[ I(X_1,\dots,X_n) = \left[ -\infty \ ,\ \frac{(n - 1) S^2}{\chi^2_{n - 1, \alpha}} \right] \]
Dabei gilt:
\(1 - \alpha\) ist das Konfidenzniveau
\(S^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar X)^2\) ist die Stichproben-Varianz
\(\chi^2_{n - 1, 1 - \alpha}\) ist das \((1 - \alpha)\)-Quantil der \(\chi^2\)-Verteilung mit \(n - 1\) Freiheitsgraden
Bemerkung zur Vorgehensweise:
Die benötigten Quantile werden mithilfe von Software (z. B. R) oder mit Tabellen bestimmt.
Quantile in R berechnen:#
# Quantil der Normalverteilung:
qnorm(0.975) # liefert z_{0.975} ≈ 1.96
# Quantil der Chi-Quadrat-Verteilung:
qchisq(0.99,df = 24) # 0.99-Quantil der Chi-Quadrat-Verteilung mit 24 Freiheitsgraden
# Quantil der t-Verteilung:
qt(0.975, df = 29) # 0.975-Quantil der t-Verteilung mit 29 Freiheitsgraden
Beispiel#
Beispiel: Temperaturkontrolle im Kühlhaus
In einem Kühlhaus soll die Temperatur konstant bei \(\mu_0 = -18^\circ\)C gehalten werden.
Tatsächlich schwankt die Temperatur aufgrund technischer Ungenauigkeiten. Man geht davon aus, dass die Temperatur normalverteilt ist mit Erwartungswert \(\mu\) und unbekannter Varianz \(\sigma^2\).
Eine Stichprobe von \(n = 40\) Temperaturmessungen ergibt:
\(\bar{x} = -17{,}3^\circ\)C (Stichprobenmittelwert)
\(s = 1{,}5^\circ\)C (Stichprobenstandardabweichung)
Aufgabe: Bestimme ein einseitiges Konfidenzintervall der Form \((-\infty, b]\) für den Erwartungswert \(\mu\) zum Konfidenzniveau \(1 - \alpha = 0{,}95\).
Lösung:
Wähle die richtige Formel aus und setze die Werte ein:
mit \(t_{39,0.95} \approx 1.6849 \).
Lösung in R:#
x_bar <- -17.3
s <- 1.5
n <- 40
alpha <- 0.05
# Einseitiges KI der Form (-∞, b] bei unbekannter Varianz:
t_crit <- qt(1 - alpha, df = n - 1)
t_crit
b <- x_bar + t_crit * s / sqrt(n)
b
# Das Intervall lautet: (-∞, b], z. B. b ≈ -16.9