Exponentialverteilung

Exponentialverteilung#

Definition#

Die Exponentialverteilung ist eine stetige Verteilung auf den nicht-negativen Zahlen. Die genaue Definition ist wie folgt:

Definition

Sei \(\lambda >0\) eine reelle Zahl. Die Zufallsvariable \(X\) heißt exponentialverteilt mit Paramter \(\lambda\), falls Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

\[\begin{split}f:\mathbb R\to\mathbb R, \qquad f(x)=\begin{cases}\lambda \mathrm{e}^{-\lambda x} & \text{ falls }x\geq 0 \\0 & \text{ sonst.} \end{cases}\end{split}\]

hat. Wir schreiben dann

\[X\sim \mathrm{Exp}(\lambda)\]

Die zugehörige Verteilungsfunktion ist dann

\[\begin{split} F:\mathbb R\to [0,1], \qquad F(x)=\begin{cases} 1 - \mathrm{e}^{-\lambda x} & \text{ falls } x\geq 0 \\0 & \text{ sonst.} \end{cases} \end{split}\]

Anwendungen#

Hier sind ein paar Situationen in denen oft mit der Exponentialverteilung modelliert wird:

  • Wartezeit bis zum nächsten Kunden: In einem Callcenter kann die Zeit zwischen zwei Anrufen als exponentialverteilt angenommen werden, wenn Anrufe zufällig und unabhängig eintreffen.

  • Lebensdauer von elektronischen Bauteilen Die Zeit bis zum Ausfall eines elektronischen Bauteils (z. B. einer Glühbirne oder eines Prozessors) wird oft als exponentialverteilt modelliert, wenn die Ausfälle zufällig und ohne Alterungseffekt auftreten.

  • Zeit bis zur nächsten Erdbebenaktivität Falls Erdbeben unabhängig voneinander auftreten, kann die Zeit bis zum nächsten Erdbeben in einer bestimmten Region durch eine Exponentialverteilung modelliert werden.

  • Abstand zwischen radioaktiven Zerfällen Die Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Zerfällen eines radioaktiven Elements folgt einer Exponentialverteilung, da der Zerfall eines Atoms ein zufälliges Ereignis ist und die Zerfälle unabhängig voneinander auftreten.

  • Lücken zwischen Autos an einer Mautstation Wenn Autos zufällig und unabhängig voneinander an einer Mautstation ankommen, kann die Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Autos als exponentialverteilt angenommen werden.

  • Dauer bis zum Eintreffen einer Person in der Notaufnahme In einem Krankenhaus kann die Zeit bis zum Eintreffen des nächsten Notfallpatienten exponentialverteilt sein, wenn Notfälle zufällig und unabhängig auftreten.

  • Abstände zwischen Fehlern in einer Produktionslinie Falls Fehler in einer Produktionslinie zufällig und unabhängig auftreten, kann die Zeit bis zum nächsten Fehler als exponentialverteilt angenommen werden.

Eigenschaften#

Gilt \(X\sim \mathrm{Exp}(\lambda)\), so gilt

\[ \mathbb E(X)= \frac1\lambda \]
\[ \mathrm{Var}(X)= \frac{1}{\lambda^2} \]

Wahrscheinlichkeitsdichte und Verteilungsfunktion

Beispiel#

Beispiel

Die Lebensdauer eines elektronischen Bauteils sei exponentialverteilt. Im Mittel betrage die Lebensdauer 1500 Betriebsstunden.

  1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Bauteil dieser Art mehr als 2000 Stunden hält?

  2. Für welche Zeit \(t\) gilt: Das Bauteil hält mit Wahrscheinlichkeit \(0.99\) maximal \(t\) Stunden?

Lösung

\(X\) … zufällige Lebensdauer eines Bauteils in Stunden

Es gilt: \(X\sim \mathrm{Exp}(\lambda)\)

Bekannt ist \(\mathbb E(X)=1500\) und \(\mathbb E(X)=\frac{1}{\lambda}\) also

\[\lambda= \frac{1}{1500}\]

  1. Gesucht: \(\mathbb P(X>2000)\).

    \[\begin{split} \begin{align*} \mathbb P(X>2000) &= 1- \mathbb P(X\leq 2000)\\ &= 1- F(2000)\\ &= 1- (1- \mathrm{e}^{-\frac{1}{1500}\cdot 2000})\\ &= \mathrm{e}^{-\frac43}\\ &= 0.263597 \end{align*} \end{split}\]

    Antwort: Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. \(0.2636\) hält das Bauteil mehr als 2000 Stunden.

  2. Gesucht: \(t\) mit \(\mathbb P(X\leq t)=0.99\), also das \(0.99\)-Quantil der Verteilung

    \[\begin{split} \begin{align*} \mathbb P(X\leq t)=0.99 \quad &\Leftrightarrow \quad F(t) = 0.99 \\ &\Leftrightarrow \quad 1-\mathrm{e}^{-\frac{1}{1500}\cdot t} = 0.99 \\ &\Leftrightarrow \quad \mathrm{e}^{-\frac{1}{1500}\cdot t} = 0.01 \\ &\Leftrightarrow \quad -\frac{1}{1500}\cdot t = \ln(0.01) \\ &\Leftrightarrow \quad t = -1500\cdot \ln(0.01) \approx 6907.76 \end{align*} \end{split}\]

    Antwort: Mit einer Wahrscheinlichkeit \(0.99\) hält das Bauteil maximal \(6907.76\) Stunden?

Umsetzung in R#

Hier stehen die folgenden Funktionen zur Verfügung

  • dexp() für die Wahrscheinlichkeitsdichte

  • pexp() für die Verteilungsfunktion

  • qexp() zur Berechnung der Quantile

  • rexp() zum Erzeugen von Pseudozufallszahlen

Der zweite Paramater (rate) ist dabei jeweils das \(\lambda\).

# Lösung zu 1.
1 - pexp(2000, rate=1/1500)
# Lösung zu 2.
qexp(0.99, rate = 1/1500)
0.263597138115727
6907.75527898213