Statistische Tests

Statistische Tests#

Grundidee#

  • Gegeben: Stichprobe \(X_1,\dots, X_n\) zu einem Merkmal \(X\)

  • Aufgabe: Annahmen (Hypothesen) über die unbekannte Verteilung von \(X\) überprüfen

Zwei Fälle:

  1. Verteilung bis auf einen Parameter \(\theta\) bekannt. Hypothese betrifft nur den Parameter \(\theta\) (z. B. \(\theta = \theta_0\), wobei \(\theta_0\) ein Soll-Wert ist)
    → Parametertests

  2. Verteilungstyp unbekannt
    → Nichtparametrische Tests


Beispiele#

Beispiel zu 1: Ein Eisverkäufer verkauft große Eiskugeln. Wir nehmen an, dass das Gewicht der Kugeln normalverteilt ist (mit unbekanntem \(\mu\) und unbkanntem \(\sigma^2\)). Der Eisverkäufer sagt eine Kugel wiegt im Mittel mindestens 140 Gramm. Wir bezweifeln die Aussage, kaufen 20 Kugeln und messen nach. Ziel ist es die Hypothesen

\[ \mu \geq 140 \qquad\text{und}\qquad \mu < 140\]

gegeneinander zu prüfen.

Beispiel zu 2: Pia hat den Verdacht, dass es einen Zusammenhang zwischen der Haarfarbe und der Augenfarbe einer Person gibt. Sie befragt 200 Personen nach Haarfarbe (Merkmal X) und Augenfarbe (Merkmal Y). Sie trägt Ihre Ergebnisse in einer Kontingenztafel ab. Ihr Ziel ist es nun die Hyptohesen

\[ X \text{ und } Y \text{ sind unabhängig } \qquad \text{und} \qquad X \text{ und } Y \text{ sind nicht unabhängig }\]

gegeneinander zu prüfen.