Weitere stetige Verteilungen

Weitere stetige Verteilungen#

Hier wollen kurz ein paar weitere Verteilungen kennenlernen.

\(\chi^2\)-Verteilung#

Definition

Sind \(Z_1,\dots,Z_n\) unabhängige \(\mathrm N(0,1)\)-verteilte Zufallsvariablen, so heißt die Verteilung von

\[X:=\sum_{i=1}^n Z_i^2\]

\(\chi^2\)-Verteilung (bzw. Chi-Quadrat-Verteilung). Man schreibt dann kurz

\[X\sim \chi^2(n)\]

Der Parameter \(n\) wird auch Anzahl der Freiheitsgrade genannt.

  • \(\mathbb E(X)=n\) und \(\mathrm{Var}(X)=2n\)

  • Die \(\chi^2\)-Verteilung spielt im Kontext der Induktiven Statistik (Tests, Konfidenzintervalle) eine große Rolle

  • Eine \(\chi^2\)-verteilte Zufallsvariable kann nur nichtnegative Werte annehmen.

t-Verteilung#

Definition

Sei \( Z \sim \mathrm{N}(0,1) \) standardnormalverteilt und \( V \sim \chi^2(n) \) unabhängig von \(Z\), so heißt die Verteilung der Zufallsvariablen

\[ T := \frac{Z}{\sqrt{V/n}} \]

t-Verteilung (bzw. Student-t-Verteilung). Man schreibt dann kurz

\[ T \sim \mathrm{t}(n) \]

Der Parameter \(n\) wird auch Anzahl der Freiheitsgrade genannt.

  • Für \(n > 1\) gilt: \(\mathbb{E}(T) = 0\), für \(n > 2\): \(\mathrm{Var}(T) = \frac{n}{n - 2}\)

  • Die t-Verteilung ist symmetrisch um 0, hat aber im Vergleich zur Normalverteilung „schwerere Ränder“ (d.h. höhere Wahrscheinlichkeit für Ausreißer)

  • Mit wachsender Anzahl an Freiheitsgraden nähert sich die t-Verteilung der Standardnormalverteilung an

  • Sie wird häufig in der induktiven Statistik verwendet, insbesondere bei kleinen Stichproben und unbekannter Varianz (z. B. t-Tests, Konfidenzintervalle)

F-Verteilung#

Definition

Seien \(U \sim \chi^2(n_1)\) und \(V \sim \chi^2(n_2)\) zwei unabhängige \(\chi^2\)-verteilte Zufallsvariablen. Dann heißt die Verteilung der Zufallsvariablen

\[ X := \frac{(U / n_1)}{(V / n_2)} \]

F-Verteilung (auch Fisher-Verteilung). Man schreibt dann kurz

\[ X \sim \mathrm{F}(n_1, n_2) \]

Die Parameter \(n_1\) und \(n_2\) heißen auch Freiheitsgrade des Zählers bzw. Nenners.

  • Die F-Verteilung ist nicht symmetrisch und kann nur nicht-negative Werte annehmen.

  • Erwartungswert: \(\mathbb{E}(X) = \frac{n_2}{n_2 - 2}\) für \(n_2 > 2\)

  • Die F-Verteilung spielt eine zentrale Rolle in der Varianzanalyse (ANOVA) und bei Tests auf Gleichheit von Varianzen

Dichten und Verteilungsfunktionen#