Erwartungswert, Varianz und Quantile für stetige Zufallsvariablen

Für diskrekte Zufallsvariablen haben wir bereits Erwartungswert und Varianz definiert. Hier führen wir dies Maßzahlen für stetige Zufallsvariablen ein.

Erwartungswert und Varianz

Definition

Sei \(X\) eine stetige Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeitsdichte \(f\). Dann ist

• der Erwartungswert von \(X\) definiert durch

  \[ \mathbb E(X) = \int\limits_{-\infty}^\infty x\cdot f(x)\mathrm\, d x \]

• die Varianz von \(X\) definiert durch

  \[ \mathrm{Var}(X) = \int\limits_{-\infty}^\infty (x- \mathbb E(X))^2 \cdot f(x)\mathrm\, d x \]

Den Wert \(\sqrt{\mathrm{Var}(X)}\) nennt man Standardabweichung von \(X\).

Einen wichtigen Trick für die Berechnung von \(\mathrm{Var}(X)\) liefert - genau wie bei diskreten Zufallsvariablen - die folgende Formel (genannt Verschiebungssatz):

\[ \mathrm{Var}(X)= \mathbb E(X^2) - (\mathbb E(X))^2\]

Für die Berechnung von \(\mathbb E(X^2)\) gilt

\[\mathbb E(X^2)= \int\limits_{-\infty}^\infty x^2 \cdot f(x) \mathrm\, d x \]

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Interpretation

• der Erwartungswert beschreibt den mittleren Wert der Zufallsvariable \(X\), also den Wert um den die Realsierungen der Zufallsvariable schwanken.

• die Varianz beschreibt die mittlere quadratische Schwankung um den Erwartungswert, sie ist also ein Maß dafür wie stark die Realisierungen der Zufallsvariable um \(\mathbb E(X)\) streuen.

Rechenregeln

Für Erwartungswert und Varianz gelten die gleichen Rechenregeln wie bei diskreten Zufallsvariablen.

Quantile einer Zufallsvariable

Median

Zu einer stetigen Zufallsvariable \(X\) gibt es immer eine Zahl \(m\in \mathbb R\) für die gilt:

\[ \mathbb P(X\leq m)=\frac12 \qquad \text{und} \qquad \mathbb P(X\geq m) = \frac12 \]

Eine solche Zahl \(m\) nennen wir Median von \(X\).

Beachte:

• Der Median gibt die Mitte der Verteilung an.

• \(m\) ist Median von \(X\) \(\quad \Leftrightarrow \quad\) \(F_X(m)=\frac12\).

Weitere Quantile

• Jedes \(m\) mit \(F_X(m)=0.5\) heißt Median.

• Ersetzen wir die Zahl \(0.5\) durch eine allgemeine Zahl \(\alpha\in(0,1)\) so führt dies zur Definition des \(\alpha\)-Quantils einer Zufallsvariable

Definition

Sei \(X\) eine stetige Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion \(F_X\), und sei \(\alpha\in(0,1)\). Eine Zahl \(q_\alpha\in\mathbb R\) mit

\[ F_X(q_\alpha) = \alpha \]

heißt \(\alpha\)-Quantil zu \(X\).

Bemerkung

1. Berechnung:

   • Löse (falls möglich) \(F_X(m)=\alpha\) nach \(m\) auf (d.h. Umkehrfunktion bilden)

   • Umkehrfunktion lässt sich (leider) nicht immer bilden.

2. Beachte:

   • Der Median ist das/ein \(0.5\)-Quantil, d.h. \(m_X=q_{0.5}\)

   • Ein Quantil muss nicht eindeutig sein, d.h. es kann \(m_1\neq m_2\) geben mit \(F_X(m_1)=\frac12=F_X(m_2)\)

   • Der Median lässt sich auch für diskrete Zufallsvariablen definieren (das wird hier nicht besprochen).

Beispiel

Beispiel: Exponentialverteilung (Spezialfall)

Die Zufallsvariable \(X\) sei verteilt mit Wahrscheinlichkeitsdichte

\[\begin{split}f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=\begin{cases} \mathrm{e}^{- x}& \text{ falls }x\geq 0\\ 0& \text{ falls }x< 0 \end{cases}\end{split}\]

siehe Beispiel. Für diese Vereilung berechnen sich Erwartungswert und Varianz wie folgt:

\[\mathbb E(X) = \int\limits_{-\infty}^\infty x\cdot f(x)\mathrm\, d x = \int\limits_{0}^\infty x\cdot \mathrm{e}^{- x} \mathrm\, d x = \left[ (x-1) \mathrm{e}^{- x}\right]_{0}^\infty = 1 \]

und

\[\mathbb E(X^2) = \int\limits_{-\infty}^\infty x^2\cdot f(x)\mathrm\, d x = \int\limits_{0}^\infty x^2\cdot \mathrm{e}^{- x} \mathrm\, d x = \left[(-x^2-2x-2)\mathrm{e}^{-x}\right]_0^\infty = 2 \]

und

\[ \mathrm{Var}(X)=\mathbb E(X^2) - (\mathbb E(X))^2=2-1^2=1 \]

Der Median, also das \(0.5\)-Quantil zu diese Verteilung berechnet sich wie folgt: Löse \(0.5= 1- \mathrm{e}^{-x}\) nach \(x\) auf:

\[\begin{split} \begin{align*} & 0.5= 1- \mathrm{e}^{-x} \\ \Leftrightarrow \qquad & 0.5= \mathrm{e}^{-x} \\ \Leftrightarrow \qquad & \ln(0.5)= -x \\ \Leftrightarrow \qquad & x= \ln(0.5)= 0.6931\\ \end{align*} \end{split}\]