Bernoulli-Verteilung#
Definition#
Eine Bernoulli-Verteilung liegt vor, wenn eine Zufallsvariable nur zwei verschiedene Werte annehmen kann.
Anwendung#
Typische Anwendungsszenarien:
Münzwurf
Qualitätskontrolle: defekt, nicht defekt
Klinische Studien: krank, gesund
Zielschuss: treffen, nicht treffen
usw. (immer wenn ein Zufallsexperiment genau 2 mögliche Ausgänge gibt)
Eigenschaften#
Gilt \(X\)
Erwartungswert:
\[\mathbb E(X)= 0\cdot (1-p) + 1\cdot p = p \]
Varianz:
\[\mathrm{Var}(X)= \mathbb E(X^2)-\mathbb E(X)^2 =0^2\cdot (1-p) + 1^2\cdot p - p^2 = p-p^2=p(1-p) \]
Stabdiagramm:
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x <- c(0,1)
probs <- c(0.4,0.6)
plot(x = x, y = probs, col = "blue", type = "h", lwd = 3,ylim=c(0,0.65),
main = "Wahrscheinlichkeitsfunktion (für p=0.6)", ylab = "P(X=x)", xlab = "x")
grid()
Verteilungsfunktion
\[\begin{split}F:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad F(x)= \begin{cases}0 & \text{falls } x<0\\
0.4 & \text{falls } 0\leq x < 1 \\
1 & \text{falls } x \geq 1 \end{cases}\end{split}\]
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plot.dcdf <- function(x, prob , col="blue", lwd=3, ...) {
y <- c(0,cumsum(prob))
cdf <- stepfun(x=x, y=y, right=TRUE)
plot(cdf, verticals=FALSE,
lwd=lwd, col=col, las=1,
xlab="x", ylab="F(x)", ...)
points(x,cumsum(prob),pch = 16, col=col, cex=1.2)
}
plot.dcdf(c(0,1), c(0.4,0.6), main="Verteilungsfunktion")
grid()
Beispiel#
Der Ausschussanteil in einer Produktion liege bei \(4\%\). Wir greifen zufällig ein Teil aus der laufenden Produktion heraus. Die Zufallsvariable die das modelliert ist \(X\sim\mathrm{Ber}(0.04)\).
Es gilt also \(\mathbb P(X=0)=0.96\) und \(\mathbb P(X=1)=0.04\) und
\[\mathbb E(X) = 0.04\quad \text{ und }\quad \mathrm{Var}(X)=0.04\cdot 0.96 = 0.0384\]
Die Standardabweichung: \(\sqrt{\mathrm{Var}(X)} = 0.195959\)
Verteilungsfunktion:
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plot.dcdf(c(0,1), c(0.96,0.04), main="Verteilungsfunktion, p=0.04")
grid()
